Zeitschriften Crazy und Szene: Übergangsquoten lassen sich durch eine Übergangsmatrix angeben

Question

Aufgabe Marktanalyse:

Der Hersteller der Jugendzeitschrift Crazy (C) möchte den Absatz seiner Zeitschrift verbessern. Dazu lässt er eine Marktanalyse durchführen. Zurzeit ist nur ein Konkurenzprodukt auf dem Markt, nämlich die Zeitschrift Szene (S). Eine Analyse hat ergeben, dass ein gewisser Teil der Kunden von Woche zu Woche das Produkt wechselt. Der Übergangsgraph stellt die Übergangsquoten für einen Wechsel von einer Zeitschrift zur anderen dar, die durch die Marktanalyse bestimmt wurden. Für die mathematische Modellierung nimmt man an, dass die Gesamtzahl der Käufer von Woche zu Woche unverändert bei 7700 bleibt.

a) Die Übergangsquoten lassen sich auch durch eine Übergangsmatrix angeben. Ergänzen Sie die Lücken. Betrachten Sie die einzelnen Spalten. Was fällt auf? Finden Sie dafür eine Erklärung?

b) In einer bestimmten Woche gibt es 3500 Käufer für Crazy und 4200 Käufer für Szene. Wie sehen die Verkaufszahlen in den nächsten zwei Wochen aus?

c) Wie würden Sie mithilfe der gegebenen Daten die langfristige Prognose für die Zeitschrift Crazy ermitteln? Beschreiben Sie ein Verfahren.

Ansatz:

Bei a) habe ich die Matrix vervollständigt da habe ich

0,8 0,2
0,2 0,85

Ich habe die Matrix angeschaut und mir ist aufgefallen, dass in der zweiten Spalte etwas über hundert rauskommt, aber eine Erklärung finde ich dazu nicht.

Answer 1

a)

Die Matrix lautet

[0.8, 0.15; 0.2, 0.85]

Es handelt sich hier um eine Stochastische Matrix mit der Spaltensumme eins. D.h. die Käuferzahl bleibt immer exakt bei 7700 und verteilt sich nur im laufe der Zeit anders.

b) 

[0.8, 0.15; 0.2, 0.85]·[3500; 4200] = [3430; 4270]

[0.8, 0.15; 0.2, 0.85]·[3430; 4270] = [3384.5; 4315.5]

c)

Man konnte die Grenzmatrix bilden indem man Potenzenberchnet

[0.8, 0.15; 0.2, 0.85]^2 = [0.67, 0.2475; 0.33, 0.7525]

[0.8, 0.15; 0.2, 0.85]^4 = [0.530575, 0.35206875; 0.469425, 0.64793125]

[0.8, 0.15; 0.2, 0.85]^8 = [0.4467797035, 0.4149152223; 0.5532202964, 0.5850847776]

[0.8, 0.15; 0.2, 0.85]^16 = [0.4291516258, 0.4281362806; 0.5708483741, 0.5718637193]

Langfristig werden ca. 43% Crazy und 57% Szene Kaufen

Eine andere Möglichkeit ist den Fixvektor zu bestimmen

[0.8, 0.15; 0.2, 0.85]·[x; y] = [x; y]

x = 3/4·y

Weil x + y = 1 gilt

x = 3/4·(1 - x)

x = 3/7 = 0.4286 = 42.86%

y = 4/7 = 57.14%