Lösen Sie mit dem Potenzreihenansatz die beiden AWPe

Question

Gegeben ist der Differentialoperator \( \mathcal{L}[y](x)=x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y \)

(a) Lösen Sie mit dem Potenzreihenansatz die beiden AWPe

(i)
\( \mathcal{L}[y](x)=0, \quad y(1)=1, y^{\prime}(1)=1 \)

(ii)
\( \mathcal{L}[y](x)=0, \quad y(1)=1, y^{\prime}(1)=2 \)

(b) Formulieren Sie ein zu \( \mathcal{L}[y](x)=0 \) äquivalentes Differentialgleichungssystem erster Ordnung und geben Sie die Lösungen zu den (i) und (ii) entsprechenden AWPen an.

(c) Zeigen Sie, dass die Lösungen aus (b) linear unabhängig sind.

Comments

Steht doch sogar da: Potenzreihenansatz.

Nehme an, \(y\) lasse sich als Potenzreihe schreiben, d.h. \(y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_ny^n \). Dann \(y\) ableiten in die DGL einsetzen, Anfangswerte berücksichtigen, versuchen das ganze Zeug in eine Summe zu kriegen und auf der anderen Seite 0, d.h. sowas wie \(\sum_{k=...}^{\infty}\dots = 0\) und dann per Koeffizientenvergleich die Folge \(a_n\) bestimmen.