Formel für Fahrzeugdurchsatz ableiten und vereinfachen

Question

Ich habe diese Formel:

\( y=y(v)=\frac{1000 v}{\frac{v^{2}}{100}+\frac{v}{3,6}+6} \)

Diese Funktion wird zunächst zu y' und \( \mathrm{y} \) " abgeleitet:

\( \begin{aligned} y^{\prime}(v) &=1000 \cdot\left(\frac{v^{2}}{100}+\frac{v}{3,6}+6\right)^{-1}+1000 v \cdot\left(-\left(\frac{v^{2}}{100}+\frac{v}{3,6}+6\right)\right)^{-2} \cdot\left(\frac{v}{50}+\frac{1}{3,6}\right) \\ &=\frac{1000}{\left(\frac{v^{2}}{100}+\frac{v}{3,6}+6\right)}-\frac{1000 v\left(\frac{v}{50}+\frac{1}{3,6}\right)}{\left(\frac{v^{2}}{100}+\frac{v}{3,6}+6\right)^{2}} \end{aligned} \)

Nun muss ich jedoch die Formel so vereinfachen, dass ich eine Kurvendiskussion durchführen kann und dementsprechend auch noch weiter ableiten. Wie gehe ich vor?

Answer 1

mein matheprogramm sagt

y ´( x ) = - 8100000 * ( x^2 - 600) / [ 9x^2 + 25x + 5400]^2
x = ν

Comments

Und wie sicher ist es, dass diese Ableitung richtig ist? Mit dem Lehrer bin ich zu meinen Ableitungen gelangt

Sind Ihre nun die Vereinfachung?

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ich kann derzeit nicht einloggen



Das sagt das Matheprogramm.
Das ist eine Aufgabe aus den bayerischen Abituraufgaben. Gell.
mfg Georg

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Also haben Sie keine Erklärung für meine Aufgabe? Mir ist diese Vereinfachung nicht wirklich klar

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Übrigens steht dort 3,6 und nicht 36

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Vorbemerkung : im Forum wird meist das " du " verwendet.

Wir müssen erst einmal klären was du überhaupt willst.

Willst du eine Herleitung für die 1. und 2.Ableitung der
Ausgangsformel ?

Und diese sollte größtmöglich vereinfacht sein?

Deine Aufgabe im Zusammenhang kenne ja ich nicht.

mfg Georg

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Dies ist eine ähnliche oder vielleicht sogar dieselbe Aufgabe für die es ein Video und die Lösung mit Lösungsweg gibt.

2. Betrachtet wird die Funktion \( \mathrm{K} \) mit dem Term \( \mathrm{K}(\mathrm{v})=\frac{\mathrm{v}}{\frac{\mathrm{v}^{2}}{2 \mathrm{a}}+\mathrm{tv}+\mathrm{s}} \) \( \mathrm{v} \in \mathrm{IR}^{+} \), und den positiven Parametern \( \mathrm{a}, \mathrm{t} \) und \( \mathrm{s} \)
\( \mathrm{K} \) beschreibt in einem idealisierten Modell die sogenannte Kapazität einspuriger Straßen, das ist die Anzahl der Fahrzeuge, die. bei genauer Einhaltung des Sicherheitsabstandes pro Zeiteinheit eine bestimmte Stelle passieren können. In diesem Modell wird vereinfachend angenommen, dass alle Fahrzeuge mit der gleichen Geschwindigkeit \( v \) fahren und außerdem die Parameter a (Bremsverzögerung), t (Reaktionszeit des Fahrers) und s (Fahrzeuglänge) für alle Fahrzeuge der Kolonne gleich sind.
a) Bestimmen Sie die Grenzwerte von \( \mathrm{K}(\mathrm{v}) \) für \( \mathrm{v} \rightarrow 0 \) und \( \mathrm{v} \rightarrow \infty \).
b) Zeigen Sie, dass \( \mathrm{K}(\mathrm{v}) \) für \( \mathrm{v}=\mathrm{v}_{\max }=\sqrt{2 \mathrm{as}} \) maximal wird. Berechnen Sie \( \mathrm{v}_{\max } \) in \( \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \) für \( \mathrm{a}=4,0 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \) (regennasse Fahrbahn) und \( \mathrm{s}=4,5 \mathrm{~m} \)
c) Begründen Sie am Term \( \mathrm{K}(\mathrm{v}) \), dass die Kapazität bei zunehmender Fahrzeuglänge s abnimmt, wenn v, a und \( t \) konstant bleiben. Begründen Sie ebenfalls am Term, dass die Kapazität zunimmt, wenn die Bremsverzögerung a zunimmt und \( \mathrm{v}, \mathrm{t} \) und \( \mathrm{s} \) konstant bleiben. Erläutern Sie letztere Aussage im
Anwendungszusammenhang.

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Okay. Ich brauche bis zur Dritten Ableitung und in einer Form mit der man eine Kurvendiskussion durchführen kann. Also mit Extrema usw.

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hier meine handschriftliche 1.Ableitung

1.Ableitung
3.6*10^5 * ( -3.6 * v^2 + 2160 ) / ( 3.6*v^2 + 100*v + 2160 )

Extremwert : Zähler = 0
-3.6 * v^2 + 2160 = 0
v = 24.49
Dies Ergebnis lieferte auch mein Matheprogramm.
Wendepunkt
v = 46.46
Die 2.Ableitung wollte ich mir nicht mehr antun.
Du hast dafür sicherlich Verständnis.