Integralrechnung cos²(x)

Question

es geht um Integralrechnung.

Ich habe einen Integralrechner verwendet um das Integral von ∫ cos²(x) dx zu errechnen

und dann schreibt der beim ersten Punkt "Integranden umschreiben":

cos²(x) = (1/2)* cos(2x)+(1/2)

ich hab leider keine Ahnung wie der auf diese Umformung kommt, kann mir das bitte jemand Schritt für Schritt erklären? :(

Answer 1

Schau mal in die Formelsammlung unter
Additionstheorem für cos.
wenn du das auf   cos ( x + x) anwendest, bekommst du cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2 cos^2(x) -1
wegen cos^2 + sin^2 = 1

Answer 2

Der reguläre Weg wäre denke ich über die partielle Integration. Wenn du trotzdem noch die Umformung brauchst sag bescheid. Ich würde das aber eben über die partielle lösen.

∫ COS(x)^2 dx

∫ COS(x)·COS(x) dx

Partielle Integration ∫ u'·v = u·v - ∫ u·v'

∫ COS(x)·COS(x) dx = SIN(x)·COS(x) - ∫ COS(x)·(-SIN(x)) dx

∫ COS(x)·COS(x) dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ SIN(x)·SIN(x) dx

∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ SIN(x)^2 dx

∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ (1 - COS(x)^2) dx

∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ 1 dx - ∫ COS(x)^2) dx

2·∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + x

∫ COS(x)^2 dx = 1/2·x + 1/2·SIN(x)·COS(x)