Lösung:
Im dargestellten konkreten Fall findet man relativ schnell heraus, dass dem so ist. Wenn man glücklich ist, findet man gleich eine Konstruktion, die sich verallgemeinern lässt. Wir beweisen gleich im Allgemeinen:
Seien \( x_{1}, \ldots, x_{n} \in\{1, \ldots, n\} \) die Zahlen in ihrer Reihenfolge. Setze \( x_{n+i}:=x_{i} \) für \( i=1, \ldots, k \) um die 'Überläufe' wohldefiniert werden zu lassen. Definiere die \( i \)-te Summe als
\( s_{i}:=\sum \limits_{j=i}^{i+k-1} x_{j} \)
für \( i=1, \ldots, n . \) Es wird hier bei \( x_{i} \) angefangen und die nächsten \( k-1 \) Nachbarn im Uhrzeigersinn werden werden hinzuaddiert. Jede Zahl \( x_{j} \) tritt in \( k \) der Summen auf. Es folgt:
\( \sum \limits_{i=1}^{n} s_{i}=k \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=k \sum \limits_{i=1}^{n} i=k \frac{n(n+1)}{2} \)
da wir \( n \) Summen (Schubfächer!) haben, finden wir ein \( s_{i} \geq\left\lceil k \frac{n+1}{2}\right\rceil . \) Im obigen Beispiel ist \( n=10, k=3 \) und es ist
\( \left\lceil 3 \frac{11}{2}\right\rceil=17 \)
womit wir fertig sind.
Ich hätte über die mittlere Summe der k-Tupel argumentiert, die aber wohl auch in den Schubfachansätzen eine Rolle spielt.
die Summe aller Zahlen bis 10 ist 55. ausserdem 10:3=3 rest 1 und 55:3=18Rest 1.
Teile deinen Kreis in 3 Abschnitte der Länge 3 , angefangen bei rechts von der 1. d.h. die 1 ist in keiner der Abschnitte. Die Abschnitte sind deine pigeonholes. steck in jedes 3 Zahlen. Dann muss die Summe der Zahlen in mindestens einer größer 17 sein, weil die Summe der 3 Abschnitte ja =54 sein muss. Ich glaub, das lässt sich verallgemeinern.
