0 Daumen
835 Aufrufe

Gruppenübung - Höhere Mathematik 1 - Aufgabe Lineare Gleichungssysteme:

Entscheiden Sie, ob die Mengen

\( M_{1}:=\{(25,-10,4,-3)\} \\ M_{2}:=(-1,0,2,0)+\mathbb{R}(0,1,0,1) \\ M_{3}:=\mathbb{R}(-1,1,1,-1) \\ M_{4}:=\{(-3+t, 4-2 t, t, 0), t \in \mathbb{R}\} \)

in der Lösungsmenge des Gleichungsystems

\( \begin{aligned} 1 x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4} &=5 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+1 x_{3} &=-1 \end{aligned} \)

liegen. Bestimmen Sie die Lösungsmenge. Ist sie ein affiner Teilraum von \( \mathbb{R}^{4} \) ? Ist sie ein Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{4} \) ?


Ansatz:

Ich habe das LGS berechnet als Ergebnis kam ich beim Aufpunkt auf (0.5 / 0/ 0) und beim Richtungsvektor auf (0.5/0/1).

Ich hab die Mengen in das LGS eingesetzt. Woran kann ich sehen ob diese in der Losungsmenge liegen?

Ich kann auch nicht beantworten, was ein affiner Teilraum und ein Untervektorraum ist.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Ich habe das LGS berechnet als Ergebnis kam ich beim  aufpunkt  auf (0.5 / 0/ 0) und beim richtungsvektor auf (0.5/0/1)


Du hast aber nicht bedacht, dass das LGS 4 VARIABLEN hat.

Das heißt, weil die 4. in der 2. Gleichung gar nicht vorkommt, kannst du die

beliebig wählen, sagen wir mal  x4 = s

und bei 2 Gleichungen mit 4 Variablen kannst du dann auch noch x3 frei wählen,

etwa  x3=t.

Dann hast du

x1 + 2x2 = 5 -3t - 4s

3x1 + 2x2  = -1 - t

Jetzt 2.  minus 1. dann gibt es

2x1   =  -6 + 2t  + 4s

x1  =   -3  + t    +  2s  und das in die 1. eingesetzt gibt

-3  + t    +  2s  + 2x2 = 5 -3t - 4s
also x2 = 4 -2t  - 3s
also ist die Lösungsmenge die Menge aller 4-Tupel mit irgendwelchen
s und t  aus IR von der Form    ( -3  + t    +  2s    ; 4 -2t  -3s     ; t  ;  s  )

Um M1 zu prüfen, schaust du, ob es in allen 4 Komponenten passt.
Genauer:  gibt es s  und t aus IR dass
 (    -3  + t    +  2s;  4 - 2t - 3s  ;  t  ;  s  ) =  (25 ; -10 ; 4 ; -3 ) gilt.
in der 3. und 4. Komponente siehst du leicht  t=4  und s=-3.
Setzt du das bei 4-2t-3s ein gibt es 4-8+6=2
also stimmt die 2. Komponente nicht
Also M1 nicht Teil der Lösungsmenge.

Bei d) z.B. siehst du sofort:  für s=0 stimmt es überein.
bei b) nicht
und bei c) auch nicht.

Die Lösungsmenge ist kein Untervektorraum. Du brauchst nur zwei Lösungen so
auszuwählen, dass ,wenn du sie addierst, das Ergebnis keine Lösung ist
probier es mal mit s=0 und t=1
und für die 2. s=1 und t=0.

affiner Teilraum ist es schon, da musst du sicher mal nachlesen was das ist.
Es läuft darauf hinaus, dass man nur  (     t    +  2s;  2t - 3s  ;  t  ;  s  )
[ also ohne die -3  und die 4 vor der 1. und 2. Komponente betrachtet,
und das ist ein Vektorraum, der von (1;2;1;0) und (2;-3;0;1) erzeugt wird.




Ich hab die Mengen in das LGS eingesetzt woran kann ich sehen ob diese in der Losungsmenge liegen?

die letzten Fragen kann ich leider auch nicht beantworten was ist ein affiner teilraum und ein untervektorraum :/

Avatar von 287 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community