Grenzwert von Funktion berechnen: lim (√(x+√x) - √x) für x gegen unendlich

Question

Grenzwert von Funktion berechnen:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \)

Ansatz:

Ich weiss, dass der Grenzwert 1/2 sein muss. Ich habe diese Funktion mit √(x+√x) + √x erweitert und danach L'hopital Regel angewendet und komme trotzdem nicht auf das Ergebnis. Was mache ich falsch?

Answer 1

lim (x-->∞) √(x + √x) - √x

lim (x-->∞) (√(x + √x) - √x) · (√(x + √x) + √x) / (√(x + √x) + √x)

lim (x-->∞) √x / (√(x + √x) + √x)

lim (x-->∞) √x / (√(x + x/√x) + √x)

lim (x-->∞) √x / (√x·(√(1 + 1/√x) + 1))

lim (x-->∞) 1 / (√(1 + 1/√x) + 1) = 1/2

Comments

lim (x-->∞) √x / (√(x + x/√x) + √x)

wie kommt man auf x/√x  ?

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√x = √x * √x / √x = x / √x