Entscheiden Sie mit Begründung, ob folgenden Mengen Unterräume sind: U1:={(x,y,z} |y^2 = z, x,y,z € C } c C^3.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektorräume C³ und   $${ P }_{ 2 }:=\left\{ { { ax }^{ 2 } }+bx+c|{ a,b,c\quad \epsilon \quad \complement  } \right\} \subseteq \quad { \complement  }^{ 3 }$$

Entscheiden Sie mit Begründung, ob folgenden Mengen Unterräume sind.

a) \( U_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \mid y^{2}=z, \quad x, y, z \in \complement\right\} \subseteq \complement^{3} \)

b) \( U_{2}=\left\{a x^{2}+b x+c \in P_{2} \mid c=2 a b\right\} \subseteq V \)


Ansatz/Problem:

Woher weiß ich denn ob dass Unterräume sind, da stehen ja nur Buchstaben. Ich würde mich freuen, wenn wir das Schrittweise machen könnten, sodass ich auch den Sachverhalt verstehe.

Answer 1

Wenn du das bezweifelst, suche einfach nach dem erstbesten Gegenbeispiel. Ich wähle die Elemente deiner U mal beliebig und hoffe, dass gleich schon mal die Summe nicht mehr in U liegt.

a)

Vektorraum ( Mengen Unterräume): U1:={(x,y,z} |y^2 = z, x,y,z € C } c C^3.

U1  enthält (1,2,4) und (1,3,9)

Aber (1,2,4) + (1,3,9) = (2, 5, 13)  ∉ U1, da 5^2 ≠ 13

==> U1 ist kein Unterraum von C^3.

b)

U2 enthält (x^2 + 2x + 4) und (2x^2 + 3x + 12)

Kontrolle: (x^2 + 2x + 4) + (2x^2 + 3x + 12) = 3x^2 + 5x + 16 ∉ U2, da 2*3*5 = 30 ≠ 15.

U2 ist auch kein Unterraum.

Comments

Danke erstmal dass du überhaupt dir die Aufgabe angeguckt hast.

Ich hätte da noch kurz eine Frage.!

Du hast ja bei a) quasi Beliebige Zahlen genommen....aber in der Aufgabenstellung steht ja nicht " Sie können beliebig Zahlen einsetzten"....ich meine wenn ich irgendwann nochmal so eine Aufgabe bekomme. Soll ich dass dann genaus so machen wie du?? Ich frage deswegen nach weil ich verstehe das nicht....

Ich hab eigentlich geraten als ich meinte, es sind unterräume, und doch war das richtig:=)

bei a) hast du die zahlen( 1,2,4) für x,y,z eingesetzt?? aber in der Aufgabe ist ja noch ein y²=z

und wo ist denn dieser Teil? die zahlen ( 1,2,4) habe ich noch verstanden. Aber warum hast du jetzt nochmal (1,3,9) genommen? Welcher teil ist das? Etwa teil teil mit y²???? Die Endwerte ( 2,5,13) ist auch klar, kommt ja daher das man die anderen addiert. Aber warum ist zum Schluss 5²( wahrscheinlich ist das der teil mit y²) ist ungleich 13? Warum nicht ungleich 2 oder 5....die 13 kommt doch von hier oder ( 2,5,13)

und b) genauso ???

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Du hast ja bei a) quasi Beliebige Zahlen genommen....aber in der Aufgabenstellung steht ja nicht " Sie können beliebig Zahlen einsetzten"....ich meine wenn ich irgendwann nochmal so eine Aufgabe bekomme. Soll ich dass dann genaus so machen wie du?? Ich frage deswegen nach weil ich verstehe das nicht....

Du sollst feststellen, ob ein Unterraum vorliegt. 

Wenn du zweifelst, genügt ein einziges Gegenbeispiel um eine Aussage zu widerlegen. Das ist alles, was du für einen Beweis einer falschen Behauptung brauchst. 

Du kannst dein Gegenbeispiel frei wählen, nur musst du natürlich nachrechnen, ob die Behauptung nicht zufällig doch stimmt.

Aber warum hast du jetzt nochmal (1,3,9) genommen? 

Hier ist 3^2 = 9. 

Bei einem Unterraum U muss unter anderem gelten, dass alle Summen von beliebigen Elementen von U wieder in U liegen.

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Gestern hat übrigens schon jemand die gleiche Frage gestellt. Benutze vielleicht mal die Suche und verlinke, wenn du sie finden solltest.