Irreduzibilität. Ist X^3 + X^2 + X + 2 irreduzibel in GF(13)?

Question

Außer der 3. und 6. Frage sind es Ja/Nein-Fragen.

1. Ist \( X^{3}+X^{2}+X+2 \) irreduzibel in \( \mathbb{F}_{13}[X] \)? JA/NEIN

2. Ist \( X^{4}-X^{2}+1 \) irreduzibel in \( \mathbb{F}_{5}[X] \)? JA/NEIN

3. Es sei \( f \in \mathbb{R}[X] \) gegeben durch \( f=X^{8}+4 X^{7}+8 X^{6}+12 X^{5}+14 X^{4}+ \) \( 12 X^{3}+8 X^{2}+4 X+1 . \) Bestimmen Sie \( \mathrm{m}_{-1}(f) \)

4. Ist \( X^{3}+5 X^{2}+4 X-5 \) irreduzibel in \( \mathbb{F}_{13}[X] \)? JA/NEIN

5. Ist \( X^{3}-2 X^{2}+X-2 \) irreduzibel in \( \mathbb{F}_{11}[X] \)? JA/NEIN

6. Es seien \( f, p \in \mathbb{R}[X] \) gegeben durch \( f=X^{8}+4 X^{7}+6 X^{6}-11 X^{4}- \) \( 12 X^{3}+8 X+4, p=X^{2}+2 X+2 . \) Bestimmen Sie \( \mathrm{v}_{p}(f) \)

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factor++x%5E4+-+x%5E2+%2B+1+

Betrachte dort 'factorization over finite fields' und drücke mehrfach den Knopf 'more'.

GF(13) gibt's aber bei 1. offenbar auch: gib das bei WolframAlpha ein.

Was genau ist denn dieses F_Zahl ?

---

F13 bedeutet 0 bis 12

---

GF(q) und \(\mathbb F_q \) sind beides Schreibweisen für den Körper mit q Elementen. GF(q) hat den Vorteil, dass es auch ohne LaTeX geschrieben werden kann.

F13 bedeutet 0 bis 12

Tut es nicht. Ein Körper ist keine Menge.

---

Über GF(5) kann 2. faktorisiert werden als  (4+2 x+x^2) (4+3 x+x^2) . Dein 'ja' bei 2. scheint somit falsch zu sein. Vgl. auch https://www.wolframalpha.com/input/?i=expand+%284%2B2+x%2Bx%5E2%29+%284%2B3+x%2Bx%5E2%29+over+GF%285%29

Statt 4x^2 kannst du auch 4x^2 - 5x^2 = -x^2 schreiben.

Answer 1

Ein Polynom mit Grad ≤ 3 ist irreduzibel in K nur wenn es keine Nullstellen in K hat.

Comments

Ein Polynom mit Grad ≤ 3 ist irreduzibel in K nur wenn es keine Nullstellen in K hat.

Die Aussage ist falsch. Polynome vom Grad 1 (also lineare Polynome) über einem Körper sind immer irreduzibel und hat auch immer eine Nullstelle. Polynome vom Grad 2 oder 3 sind irreduzibel genau dann wenn sie keine Nullstelle haben.