Sind folgende Aussagen über Reihen war? Σ ak konvergiert (absolut) → Σ (ak)^2 konvergiert

Question

Aufgabe T20:

Welche der folgenden Aussagen über die Reihe \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) ist wahr? Begründen Sie Ihre Aussagen.

(i) Falls \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) konvergiert, so konvergiert auch \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}^{2} \)

(ii) Falls \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \) absolut konvergiert, so konvergiert auch \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}^{2} \)

Comments

Zu i): Wähle \(a_k=\dfrac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\) als Gegenbeispiel.

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Verwende, dass die Folge \(a_k\) beschränkt und \(a_k^2=\vert a_k\vert\cdot\vert a_k\vert\) ist.

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Reicht es das zu sagen, oder muss man nochwas rechnen ?

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Da \(a_k\) absolut konvergent ist, ist die Folge insbesondere beschränkt, d.h. es existiert ein \(K\in\mathbb R\) mit  \(\vert a_k\vert<K\) für alle \(k\in\mathbb N\). Es folgt $$0<\sum_{k=0}^\infty a_k^2<\sum_{k=0}^\infty K\cdot\vert a_k\vert=K\cdot\sum_{k=0}^\infty\vert a_k\vert.$$

Answer 1

Vielen Dank, kannst du bitte noch einmal i erklären ?  Wie kommst du darauf..... .

Ich hab zwar die Lösung nicht gefunden. Man kommt aber drauf, wenn man weiss dass die harmonische Reihe an = 1/n (n>0) nicht konvergiert. Aber alternierende Nullfolgen mit |an| > |an+1| konvergieren.

( (-1) / √(k+1) )^2 = 1/(k+1)