Bestimmen Sie mittels impliziter Differentiation die Steigung der Tangente an die Kurve in einem beliebigen Punkt.

Question

Bestimmen Sie mittels impliziter Differentiation die Steigung der Tangente an die Kurve \( x^{2}+y^{2}-25=0 \) in einem beliebigen Punkt. Um welche Funktion handelt es sich?

Answer 1

Implizite Differentiation: \(2x+2yy'=0\).

Comments

was meins du denn damit ?

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Lt. Aufgabenstellung soll implizit differenziert werden. Wird zunächst nach \(y\) umgestellt, hat man eine explizite Darstellung der Kurve.

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und was mach ich nun anschließend ?y muss also nicht alleine auf eine seite stehen sondern x ?

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das ist nicht nötig, wenn du implizit ableitest. (ANM: Es heisst 'implizit' nicht 'impliziert)

HIer wurde nach x abgeleitet.

(x^2 )' = 2x

(y^2)' = 2y * y'

-25 ' = 0.

2x + 2y * y' = 0

2y * y' = - 2x

y' = -x/y                . Das ist die Ableitung im Punkt P(x,y).

x^2 + y^2 = 25 ist die Gleichung eines Kreises (M(0|0}, Radius 5).

Answer 2

Die Kurve ist ein Kreis mir Radius 5.

Stelle die Kreisgleichung nach y um, dann hast Du y implizit als Funktion von x und kannst wie gewohnt nach x ableiten...

Comments

hab sicher mich wo vertan ..... hänge bei der ableitung lg 

Answer 3

x^2 + y^2 - 25 = 0
y^2 = 25 - x^2
y = √ ( 25 - x^2 )

( √ term ) ´=  ( term ´ ) / ( 2 * √ term )

y ´= 2x / ( 2 * √ ( 25 - x^2 ) )
y ´= x  / √ ( 25 - x^2 )

Deine Rechnung ist also richtig. Du kannst die
2 noch kürzen.

Comments

y´ = -x / √(25 - x^2 )

y´´ =  -25 / (25 -x^2 ) ^3/2

bin ich mit dem bsp fertig ?

glg

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Bei mir war ein kleiner Fehler. Korrigiert
y ´= -2x / ( 2 * √ ( 25 - x² ) )
y ´= -x  / √ ( 25 - x² ) 

Deine 2.Ableitung stimmt und heißt

y´´ =  -25 / (25 -x² )^{3/2}

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ist das bsp fertig ?

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kannst du mirdie zweite ableitung in lagsamer schreibweise zeigen

ich hätt gsagt

-1 ( 25 -x² ) ^{1/2 -} 1/2 ( 25 -x² ) ^(-1/2) *2x/ (25 - x^2)^4

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-1 ( 25 -x² ) ^{1/2 -} 1/2 ( 25 -x² ) ^(-1/2) *2x/ (25 - x²)⁴

besser
( -1 * √ ( 25 -x² ) ^{1/2  -}  1/2 ( 25 -x² ) ^(-1/2) * x ) /  ( √ (25 - x²) )^2

Ich füge die handschriftliche Ableitung ein

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viiiiiiiiiiiiiiiiielen lieben dank :))))

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Hi Georg,

sicher, dass das richtig ist? Schon alleine weil Du Dir nur nen Halbkreis anschaust, statt des Vollkreises wie in der Aufgabenstellung...

Eigentlich wurde oben alles gesagt?

Eine Musterlösung mit Beispiel auch hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation#Beispiel_2