Welche Folgenwerden durch die folgenden Bedingungen beschrieben? Aussagen über konvergente Folge x_{n} mit Grenzwert.

Question

Aufgabe 54 - Aussagen über Folgen:

Welche Folgen \( \left(a_{n}\right) \) werden durch die folgenden Bedingungen beschrieben?

a) \( \forall_{\varepsilon>0} \exists_{n_{0} \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_{0}} \quad\left|a_{n}\right|<\varepsilon \)

b) \( \exists_{n_{0} \in \mathbb{N}} \forall_{\varepsilon>0} \forall_{n \geq n_{0}} \quad\left|a_{n}\right|<\varepsilon \)

c) \( \forall_{e>0} \exists_{n_{0} \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_{0}} \quad a_{n}<\varepsilon \)

d) \( \exists_{n_{0} \in \mathbb{N}} \forall_{e>0} \forall_{n \geq n_{0}} \quad a_{n}<\varepsilon \)

Aufgabe 55 - Aussagen zur Konvergenz:

Die Folge \( \left(x_{n}\right) \) sei konvergent mit Grenzwert \( x \). Welche der folgenden Aussagen sind dann richtig?

a) \( x_{n} \geq 0 \) für fast alle \( n \Rightarrow x \geq 0 \)

b) \( x_{n}>0 \) für fast alle \( n \Rightarrow x>0 \)

c) \( x \geq 0 \Rightarrow x_{n} \geq 0 \) für fast alle \( n \)

d) \( x>0 \Rightarrow x_{n}>0 \) für fast alle \( n \)

e) \( x \cdot x_{n}<0 \) für fast alle \( n \Rightarrow x<0 \)

f) \( x \cdot x_{n}<0 \) für fast alle \( n \Rightarrow x>0 \)

Ansatz:

Ich weiß, dass umgedrehte A Allquantor sein soll und das umgedrehte E ein Einzelquantor.

Answer 1

Fangen wir mal mit der 45 a) an.

a) ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ N ∀ n ≥ n₀ |a_n| < ε 

Ausgeschrieben bedeutet dies: Für Alle Epsilon größer Null existiert irgend ein Anfangsindex der Folge (n₀) sodass gilt: |a_n| < Epsilon

Dieser Satz erinnert sehr stark an die Definition der Konvergenz:

Eine Folge a_n heißt Konvergent : <=> ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ N ∀ n ≥ n₀ : |a_n - a| < ε

Ausgeschrieben: Eine Folge an heißt Konvergent, definitionsgemäß genau dann, wenn für Alle Epsilon > 0 irgendein Anfangsindex der Folge Existiert (n₀), sodass gilt |a_n -a| < Epsilon..

Wenn du mit dem e das ε meinst, welches du nicht verstehst, hier eine kurze Erklärung dazu:

(Wie immer fängt es ja an mit) Sei ε > 0 beliebig, dann (also ist ε eine Variable für irgendeine beliebige Zahl, aber sie muss immer größer sein als Null, denn du möchtest dass auf deine Folge dies zutrifft: |a_n -a| < ε

Ab diesem einen Anfangsindex sollen also alle weiteren Folgenglieder ( n ≥ n₀ ) innerhalb dieser ε-Umgebung liegen. Also alle weiteren Folgenglieder haben keinen größeren Abstand zur 0 als dieses ε

Das a in | a_n - a| < ε steht ja für den Grenzwert.

Wenn du dir jetzt nochmal die Aufgabenstellung anschaust : Du Suchst also eine Art von Folge, die auf den Konvergenzbegriff erfüllt (Sie soll konvergent sein) UND der einzige Unterschied ist, dass das a in | a_n - a| < ε fehlt. 

Wann kann dieses a nur fehlen? Genau, wenn a=0 ist.. (denn statt zB. |5-0| kann man auch |5| schreiben ;))

-> Also du suchst eine Art von konvergenten Folgen, die den Grenzwert 0 haben ;)

Welche sind das? Nunja, alle (a_n)_n∈N welche Nullfolgen sind. zB 1/n oder 1/n² ...etc (es gibt unendlich viele)..

Jetzt wo du hoffentlich verstanden hast, wie du da vorgehst, kannst du die anderen Teilaufgaben genauso lösen. Versuch es mal :)

Bei Aufgabe 55 muss ich allerdings wissen, wo hier das Problem liegt.

Im Grunde gehts nur darum: Du hast irgendeine Folge x_n und diese hat den Grenzwert x.

Wie ist der Zusammenhang. Ist der Grenzwert positiv (negativ), wenn die Folge fast nur positive (negative) Folgenglieder hat?...