b) f' ist nicht differenzierbar in x0 = 0
Du hast ja aus a) f ' (0)=0 und f ' (x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) sonst.
Dann machst du den Diff.quot. von f ' (x) bei x=0
( f(o+h) - f(o) ) / h = (2h*sin(1/h) - cos(1/h) - 0 ) / h
= 2 * sin(1/h) - cos(1/h)/h und musst überlegen, ob das für
h gegen 0 einen GW hat. Hat es aber nicht, denn für
die Nullfolge hn=1/n*2pi ist es immer - 1 / n*2pi geht also gegen Null
aber für hn=pi/2 + 1/n*2pi ist es immer konstant 2.
Also existiert kein GW, also nicht diffb. in 0.
c) Ist g(x) = f2(x), so hat g ein lokales Minimum in x0 = 0
offenbar f2(x) größer gleich Null für alle x und g(0)=0,
also gibt es keinen, der kleiner als g(0) ist, also dort lok. Min.
d) Für jedes ε > 0 ist g im Intervall (0, ε) nicht monoton wachsend und im Intervall
(-ε, 0) nicht monoton fallend.
In den Intervallen ist g diffb. mit g ' (x) = x^2*sin(1/x)*(4*x*sin(1/x)-2*cos(1/x))
und dass hat jeweils bei x=1/n*pi und bei x=-1/n*pi einen Vorzeichenwechsel und in
jedem der Intervalle liegen solche x'e.
