Aufgabe:
Ein Vektor \( \vec{r} \) bildet mit der \( x \)-Achse einen Winkel von \( 45^{\circ} \) und mit der \( y \)-Achse einen Winkel von \( 72^{\circ} \); sein Betrag ist 10 . Man bestimme \( \vec{r} \).
Lösung: \( \gamma=66,14^{\circ}, \quad \vec{r}=7,07 \vec{i}+3,09 \vec{j}+4,05 \vec{k} \)
Ansatz/Problem:
Die z-Komponente habe ich anders. Wo ist der Fehler? Ist es bei mir richtig, dass ich von 2 Lösungen ausgehen muss?
geg: \( \varphi_{x}=45^{\circ} ; \varphi_{y}=72^{\circ} ; \quad|\vec{r}|=10=r \)
ges: \( \varphi_{2} ; \vec{r} \)
\( r_{x}=r \cdot \cos \varphi_{x} \approx 7,07 \)
\( r_{y}=r \cdot \cos \varphi_{y} \approx 3,09 \)
\( \cos ^{2} \varphi_{x}+\cos ^{2} \varphi_{y}+\cos ^{2} \varphi_{z}=1 \)
\( \varphi_{z}=\arccos \pm \sqrt{1-\cos ^{2} \varphi_{x}-\cos ^{2} \varphi_{y}} \)
\( \varphi_{x_1} = 50,51° \\ \varphi_{x_2} = 129,49° \)
\( r_{z}=r \cdot \cos \varphi_{z_{1}} \approx 6,36 \)
\( r_{z}=r \cdot \cos \varphi_{z_{2}} \approx-6,36 \)
\( \Rightarrow \vec{r}_{1}=\left(\begin{array}{l}7,07 \\ 3,09 \\ 6,36\end{array}\right)=7,07 \vec{i}+3,09 \vec{i}+6,36 \vec{k} \)
\( \vec{r}_{2}=\left(\begin{array}{c}7,07 \\ 3,09 \\ -6,36\end{array}\right)=7,07 \vec{i}+3,09 \vec{i}-6,36 \vec{k} \)
