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hier bin ich folgendermaßen vorgegangen:

$$ sin(\alpha) = \sqrt{1-cos^2(α)} =\frac{1}{k}$$

$$\sqrt{1-cos^2(α)}= \frac{1}{k}$$

$$1-cos^2(\alpha)=\frac{1}{k^2}$$

$$k^2- k^2 \cdot cos^2(\alpha)=1$$

$$\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}=cos(\alpha)$$




$$ sin(\alpha) = \frac{tan(\alpha)}{\sqrt{1+tan^2(α)}}=\frac{1}{k} $$

$$\frac{tan(\alpha)}{\sqrt{1+tan^2(α)}}=\frac{1}{k}$$

$$k\cdot tan(\alpha)=\sqrt{1+tan^2(α)}$$

$$k^2\cdot tan^2(\alpha)=1+tan^2(α)$$

$$k^2\cdot tan^2(\alpha)-tan^2(\alpha)=1$$

$$tan^2(\alpha)\cdot(k^2-1)=1$$

$$tan(\alpha)=\sqrt{\frac{1}{(k^2-1)}}$$

$$tan(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}$$




$$sin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{1+cot^2(\alpha)}}=\frac{1}{k}$$

$$\frac{1}{\sqrt{1+cot^2(\alpha)}}=\frac{1}{k}$$

$$k^2=1+cot^2(\alpha)$$

$$\sqrt{k^2-1}=cot(\alpha)$$



Ist das ganze so recht optimal gelöst oder habe ich es mir unnötig schwer gemacht?

ich habe dazu eine Tabelle zur hilfe genommen:Bild Mathematik

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2 Antworten

+2 Daumen

Ein anderer Weg um das tan(a) und cot(a) zu berechnen ist der folgende:


$$\tan(a)=\frac{\sin(a)}{\cos(a)}=\frac{\frac{1}{k}}{\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}}=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}$$


$$\cot(a)=\frac{\cos(a)}{\sin(a)}=\frac{\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}}{\frac{1}{k}}=\sqrt{k^2-1}$$

oder

$$\cot(a)=\frac{1}{\tan(a)}=\sqrt{k^2-1}$$

Avatar von 6,9 k

ahhh so wäre es natürlich sehr viel schneller gegangen :D hätte ich nur dran denken müssen :P aber da fängts ja schon an 'ne, hätte hätte hätte :P egal, üben üben üben dann sitzt das schon ;)
danke für deine antwort ;)

+1 Daumen

Du musst nicht unbedingt mit sin(a) = ... anfangen.

Es genügt z.B. ein Start mit sin^2 a + cos^2 a = 1

dann kannst du 1/k einsetzen

1/k^2 + cos^2 a = 1

cos^2 a = 1 - 1/k^2 = (k^2 -1)/k^2

cos(a) = ±√(1 - k^2) / k

Wenn du nicht weisst, welche Werte a annehmen kann, musst du Vorzeichen beachten.

Avatar von 162 k 🚀

ahhh, gut zu wissen, das gilt wahrscheinlich für alle Additionstheoreme nehme ich mal an.

alles klar, also immer wenn ich solche umformarbeiten tätige, immer vorzeichen mitnehmen(auch ±), das merke ich mir ;)

vielen dank Lu!

Wenn nichts weiter steht, ja.

Solche Aufgaben haben aber oft zu Beginn einen Hinweis, dass a ein spitzer Winkel ist, oder so. Nur dann kannst du  dir die neg. Fälle sparen.

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