Zeigen Sie, dass die Teleskopreihe, also die Folge der Teleskopsummen, konvergiert. Grenzwert bestimmen.

Question

Aufgabe:

Es sei (an) n∈N eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Zeigen Sie, dass dann auch die Teleskopreihe

\( \sum \limits_{i=0}^{\infty}\left(a_{i}-a_{i+1}\right) \)

also die Folge der Teleskopsummen

\( \left(\sum \limits_{i=0}^{n}\left(a_{i}-a_{i+1}\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \)

konvergiert. Bestimmen Sie den Grenzwert.

Answer 1

Hallo Hallo780,

mein Tipp an dich: Kürze die Folge der Teleskopsumme

$$ S(n) := \sum_{i=0}^n( a_i - a_{i+1}) = \sum_{i=0}^na_i - \sum_{i=0}^na_{i+1} =  \sum_{i=0}^n a_i - \sum_{i=1}^{n+1}a_i = a_0 - a_{n+1}$$

Damit kannst du dann auch die Konvergenz und den Grenzwert der Summe bestimmen.

Gruß