sinh x bei mac laurinsche reihe

Question

können jemand mir eklären bei Mac Laurinsche Reihe Aufgaben..

Man entwickle folgende Funktionen in eine Mac Laurinsche Reihe:

Sinus hyperbolicus

sinh x = (e^x - e^-x) / 2

$$sinh x= \frac { 1 }{ 2 } [(\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k! }  } { x }^{ k })-(\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k! }  } { (-x) }^{ k })]$$

$$sinh x=\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ (2k+1)! }  } { x }^{ 2k+1 }$$

wo kommt 2k+1 her? ich habe es nicht verstanden.

Answer 1

sinh x = (e^x - e^-x) / 2

vermutlich kennst du die Reihe für e^x  da sind die Summanden immer   x^k / k! 
(Die Fakultät fehlt in deiner Formel).
Schreib dir jetzt mal den Anfang hin:
(e^x - e^-x) / 2  =  1/2 * (  x  +  x^2/2!   +  x^3 / 3!  + x^4 / 4!  + ..... )  -  ( (-x) + (-x)^2 / 2!  +  (-x)^3 / 3!  + (-x)^4 / 4! ..... )
Die Terme mit den geraden Exponenten heben sich gegenseitig auf, da z.B x^2 = (-x)^2 und x^4 = (-x)^4 etc.
also bleiben nur die mit den ungeraden Exponenten jeweils 2 mal, aber mit dem Faktor 1/2 vor der
Klammer sind die 2en verrechnet. also bleibt
(e^x - e^-x) / 2  =    x  +   x^3 / 3!  + x^5 / 5!  + x^7 / 7!   .....
und diese ungeraden Exponenten schreiben sich alle in der Form 2k+1 nämlich
für k=0  ist  2*0+1 = 1
für k=1 ist  2*1+1 = 3
für k=2  ist  2*2+1 = 5
Und wenn in der Summe das k von 0 bis unendlich läuft, dann
ergeben die Terme mit x^{2k+1} / (2k+1) !  gerade die Summanden, die sich
nicht weggehoben haben. Und wenn man will kann man das natürlich auch schreiben
als   (1 /  (2k+1) !   ) * x^{2k+1}