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Sei K ein Körper. Zeigen Sie die folgenden ohne Beweis erwähnten Aussagen:

a) Seien f : U → V , g : V → W lineare Abbildungen von K-Vektorräumen. Dann gilt: (g ◦ f)= f◦ g

b) Seien m, n, k natürliche Zahlen, A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,k(K). Dann gilt: (A · B) t = B· At

Ich weiß ich nicht, wie ich diese beiden Aufgaben zeigen soll bzw. wie ich ansetzen muss um auf die richtige Lösung zu kommen.

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Beste Antwort
Der * bei 1 sagt mir nichts, aber 2 ist es so:
"zeigen" heißt doch, dass man diese Aussage beweisen soll.
Das könnte so gehen:

Sei
ai,1  ai,2  .....   ai,n
die i-te Zeile von A und
b1, j  
b2,j  
.......
bn,j  
die j-te Spalte von B
Dann ist   c = ai,1 *  b1,j  + ai,2 *  b2,j  + .....  + ai,n *  bn,j 
das Element ci,j in der Matrix A*B.

Die i-te Zeile von A ist die i-te Spalte von A^t  und
die j-Spalte von B ist die j-te Zeile von B^t . also
ist das Element   cj,i in der Matrix B^t * A^t das Produkt
der j-ten Zeile von B^t mit der  i-ten Spalte von A^t
und damit das c von oben.
Und wenn immer ci,jund  cj,i übereinstimmen, ist das
transponierte der einen Matrix eben genau die andere.
Avatar von 287 k 🚀

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