Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen linear sind (Beweis bzw. Gegenbeispiel)

Question

Aufgabe:

(a) Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen linear sind (Beweis bzw. Gegenbeispiel):

(i) \( f_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f_{1}\left(\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}x-y \\ 1+y\end{array}\right] \)

(ii) \( f_{2}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f_{2}\left(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}x-y \\ x-y\end{array}\right] \)

(b) Von einer linearen Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) ist Folgendes bekannt:

\( \varphi\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right] \text { und } \varphi\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right] \)

(i) Stellen Sie die Standardbasisvektoren \( \left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right] \) und \( \left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right] \) als Linearkombinationen von \( \left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right] \) und \( \left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right] \) dar.

(ii) Berechnen Sie mit Hilfe Ihrer Ergebnisse aus Teil (i) \( \varphi\left(\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]\right) \) und \( \varphi\left(\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]\right) \).

(iii) Berechnen Sie \( \varphi\left(\left[\begin{array}{l}5 \\ 7\end{array}\right]\right) \)

(iv) Wie lautet die Abbildungsvorschrift der linearen Funktion \( \varphi \) für einen beliebigen Vektor \( \left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2} \)?

Answer 1

a 1 Gegenbeispiel
f( 1,1) = (0,2)  aber f ( 2*(1,1) ) = f (2,2) = (0,3) ungleich 2*(0,2)

2 ist linear:   Prüfst du  f(x1+x2, y1+y2, z1+z2)  =  f (x1,y1,z1) + f (x2 , y2, y3)
und   f(a* x1,a*y1,a*z1))  =   a*   f (x1,y1,z1)

b  mach mal nen Ansatz x * (1,1) + y*(1,2) = (1,0)  gibt x=2 und y=-1
entsprechend für den 2. Stand.basisvektor  x=-1 und y=1

mit den Ergebnissen ist

phi( 1,0) = phi ( 2 * (1,1) +(-1) *(1,2) )  2* phi(1,1)  +  (-1)* phi (1,2)
und darin einsetzen und ausrechnen.

Answer 2

Ich glaube dein Hauptproblem ist, dass du nicht weißt, ab wann eine Abbildung linear ist und wann nicht. Dazu hier kurz die Eigenschaften und Vorgehensweise:

p ist irgendeine Abbildung von V -> V (V steht hier für Vektorraum) Und sagen wir mal v₁, v₂ ∈ V und r ∈ ℝ.

p ist linear, wenn folgende Eigenschaften zutreffen:

1) p( v₁ + v₂ ) = p(v₁) + p(v₂) und das für alle Vektoren  v₁, v₂ egal welche.

2) p( r * v ) = r * p(v) und das auch für alle Vektoren v, egal welche.

Du kannst ja als erstes mal irgendwelche Vektoren einsetzen und schauen, ob die Eigenschaften zutreffen.

Wenn nicht hast du sofort ein Gegenbeispiel dafür, dass es KEINE lineare Abbildung ist.

Wenn doch, liegt es nahe, dass es sich um eine Lineare Abbildung handelt und du kannst es beweisen, indem du die für einen Vektor Variablen als Koeffizienten einsetzt und schaust ob am ende eine wahre Aussage raus kommt.

zB

a) i)

$$p[(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})]\quad =\quad [\begin{matrix} x-y \\ 1+y \end{matrix}]$$

Wir nehmen mal folgenden Vektor: v₁ =$$ \quad (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})\quad $$

und r sei 3.

Wenn man nun diese Vektor zB in die zweite Eigenschaft einsetzt muss das hier gelfen: p( r * v ) = r * p(v)

$$p(3*(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}))\quad =\quad 3\quad *\quad p(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})\\ p(\begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix})\quad =\quad 3\quad *\quad p(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})\\ (\begin{matrix} 3-6 \\ 1+6 \end{matrix})\quad =\quad 3*\quad (\begin{matrix} 1-2 \\ 1+2 \end{matrix})\\ (\begin{matrix} -3 \\ 7 \end{matrix})\quad =\quad 3*\quad (\begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix})\\ (\begin{matrix} -3 \\ 7 \end{matrix})\quad =\quad (\begin{matrix} -1 \\ 9 \end{matrix})\quad $$

Dies ist offensichtlich falsch.

Da mindestens eine Eigenschaft (nämlich die zweite) nicht zutrifft, kann es sich hier NICHT um eine lineare Abbildung handeln..

Ich hoffe das war verständlich.

Comments

Oh nein, das mit dem Formeleditor hat nicht geklappt.. :( In dem Beispiel handelt es sich um den Vektor (1,2) und r = 3 und das habe ich für die zweite Eigenschaft, die zutreffen muss eingesetzt und angeblich kommt (-3,7) = (-3,9) raus, was offensichtlich falsch ist.

Es reicht aus, dass mindestens eine Eigenschaft nicht zutrifft wenn man widerlegen will. Um zu beweisen, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt, musst du jedoch beide Eigenschaften zeigen :)

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Hi Lici,

damit deine Mühe nicht umsonst war: Wenn du LaTeX-Code integrieren möchtest musst du am Anfang und am Ende des Codes jeweils $$ schreiben. Dafür wird der Code dann extra in einer neuen Zeile geschrieben. Möchtest du den Code in einer bestimmten Zeile haben, dann musst du den "\(" -Code- "\)" so einklammern (ohne Anführungszeichen).

Gruß

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Danke, jetzt hat es geklappt :)

Das nur zu tippen hat eine halbe Stunde gedauert, aber jetzt ist meine Laune wieder gerettet :D

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Kein Problem, kenne ich nur zu gut ;).