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Aufgabe:

Beim Hallenfußball schießt ein Stürmer auf das Tor. Der Ball landet nach einem Parabelflug genau auf der 50 m entfernten Torlinie. Seine Gipfelhöhe beträgt 12,5 m.

blob.png

a) Wie lautet die Gleichung der Flugparabel?

b) Hat der 3 m vor dem Tor stehende Torwart eine Abwehrchance? Er kommt mit der Hand 2,70 m hoch.

c) Unter welchem Winkel α wurde der Ball abgeschossen?

d) Der Abschusswinkel soll vergrößert werden. Welches ist der maximal mögliche Wert für α. Der Ball soll wieder auf der Torlinie landen (Hallenhöhe 15 m).

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Vom Duplikat:

Titel: Rekonstruktion von einer Funktion 2 Grades mit 3 Bedingungen

Stichworte: rekonstruktion,funktion

Soo meine Lieben,
ich habe jetzt eine wichtige Hausaufgabe bekommen, die eingesammelt wird. Da mich mein Mathelehrer nicht mag und ich eh nicht der Mathe-profi bin, brauche ich eure hilfe!

Meine Ableitung
f (x) = ax² + bx + c
f ' (x) = 2ax + b

Meine Bedingungen
1. Hochpunkt 12,5m
2. Erste Nullstelle (0|0)
3. Zweite Nullstelle (0|50) ?

So, und jetzt muss ich die Bedingungen in meine Ableitungen reinsetzen soweit ich es verstanden habe, ich bin mir aber nicht sicher wie.
Ich weiß auch nicht, wenn ich schon alles eingesetzt habe, was ich womit rechnen soll damit ich meine Gleichung herausfinde.

So sieht die Aufgabe aus. Bild Mathematik
Liebie liebe Grüße!

7 Antworten

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a)

f(x) = - 12.5/25^2·x·(x - 50) = x - 0.02·x^2


b)

f(47) = 2.82


c)

arctan(f'(0)) = 45°

f2(x) = - 15/25^2·x·(x - 50) = 1.2·x - 0.024·x^2

arctan(f2'(0)) = 50.19°

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Morgen ;),

Die Bedingung (0|50) kannst Du nicht sicher ablesen. Wird sogar falsch sein.

Nimm lieber folgende Bedingungen:

f(0)=0            (Punkt)

f(47) = 12,5  (Punkt)

f'(47) = 0       (Bedingung für Hochpunkt)


Damit können wir nun ein Gleichungssystem aufstellen:

c = 0

2209a + 47b + c = 12,5

94a + b = 0


Dies löse nun:

f(x) = -25/4418*x² + 25/47*x


Alles klar?


Korrektur:

Du hattest mit Deinen Bedingungen recht (auch wenn falsch aufgeschrieben. Es muss (50|0) sein.)

f(0)=0

f(25)=12,5

f(50)=0

Ergibt:

c = 0

625a + 25b + c = 12,5

2500a + 50b + c = 0


Also f(x) = -0,02x^2 + x


Grüße

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Bis zu den Bedingungen habe ich es verstanden, probleme habe ich aber leider bei der Rechnung... So weit bin ich jetzt mitgekommen.

Ableitungen:

\( \begin{array}{l} f(x)=a x^{2}+b x+c \\ f^{\prime}(x)=2 a x+b \end{array} \)

Bedingungen:

I \( f(0)=0 \quad \) (Punht) \( \Leftrightarrow \quad c=0 \)
II \( f(47)=12,5( \) Punkt \( ) \Leftrightarrow 2209 a+47 b+c=12 \)
II \( f^{\prime}(47)=0( \) Hochpunkt \( \Leftrightarrow 94 a+b=0 \)

Wie ich aber die Rechnung hinbekomme, das ist immer noch ein Rätsel. Wo kommt auf einmal die -25 her? Sollte ich sie mir selber ableiten, um es ausrechnen zu können?

Du schriebst:

1. Hochpunkt 12,5m

Das ist insofern falsch, als dass es nur das Maximum ist, es fehlt die erste Koordinate, die ein Punkt ja auch noch hat. Richtig wäre hier wegen der Symmetrie der Parabel:

1. Hochpunkt \(\left(25\,\text{m}\,|\,12.5\,\text{m} \right).\)

Wie komme ich denn zu dieser rechnung? -> f(x) = -0,02x2 + x
Was soll ich damit rechnen, um es raus zu bekommen? Ist das schon meine gesuchte Gleichung? Hilfeee :( Ich will es ja verstehen können...

Ja, das ist Deine gesuchte Gleichung.

Das Gleichungssystem, welches sich aus den Bedingungen ergibt, ist oben aufgestellt. Dieses Gleichungssystem gilt es zu lösen. Tust Du dies, erhältst Du a = -0,02, b = 1 und c = 0, was zu der Lösung führt.

Alles klar, aber wie soll ich es lösen?

Die erste bedingung ist klar (c=0) , ich muss aber irgendwie a und b ausrechnen.
Ich habe jetzt versucht, alleine a auszurechnen, aber es kam eine Katastrophe raus.

Bild Mathematik

Der weg zum Ergebnis ist mir wichtig, da ich nicht weiß wie ich zum a und b komme :(

Fast richtig! :)

Es ist allerdings 12,5*(-2) = -25 und schon hast Du alles richtig :).

Ah, jetzt versteh ich es, vielen lieben Dank! =D

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Ich würde mal die y-Achse genau in die Mitte zwischen Tor uns Abschusspunkt legen.

Dann hat die Parabel die Gleichung f(x) = a * x^2 + 12,5

und es ist f(25)=0 (Torlinie ! )

also

0 = a * 625 + 12,5 gibt a= - 0,02

damit f(x) = - 0,02x^2 + 12,5

Torwart steht bei x=22

also f(22) = 2,82

Der Ball ist 2,82m über ihm, er kommt aber nur bis 2,7. Also bekommt er ihn nicht.

Abschusswinkel . tan (alpha) = f ' (-25) mit f ' (x) = -0,04*x gibt
tan (alpha) = 0,88  also alpha=35,8° 

Hallenhöhe 15m, dann ist der Ansatz f(x)= a * x^2 + 15

mit f(25)=0 (Torlinie ! )  gibt das a=-0,024

dann f ' (x) = -0,048x   also tan(alpha)=-1,2

also alpha=50,2°


Lege dir ein Koordinatensystem dort hinein.

Am einfachsten fände ich es, wenn man den Gipfel der Flugbahn in den Punkt (0;12,5) legt.

Dann wird er Ball im Punkt ( -25; 0) abgeschossen und landet bei ( 25;0) auf der Torlinie.

Die Parabel durch diese drei Punkte hat den Scheitel in (0;12,5) , also eine

Gleichung von der Form y = a*x2 + 12,5.

Setzt man einen der Punkte ein, so hat man

                              0 = a* 625 + 12,5

nach a auflösen gibt a= -0,02 .

Also hat die Parabel in diesem Koordinatensystem die Gleichung:

                  y = -0,02*x2 +12,5

~plot~ -0.02*x^2+12,5;[[-35|35|0|15]] ~plot~


Der Torwart steht bei x=22.

Rechne mal den zugehörigen Parabelpunkt aus.

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Unknown hat sich zwar schon korrigiert aber
es sind ein Teil der gestellten Fragen noch offen.

Meine Ableitung
f (x) = ax² + bx + c
f ' (x) = 2ax + b

Meine Bedingungen
1. Hochpunkt 12,5m
2. Erste Nullstelle (0|0)
3. Zweite Nullstelle (50|0)


f ( 0 ) = 0  => c = 0
f ´ ( 25 ) = 2 * a * 25 + b = 0  ( Hochpunkt / Maximum )
f ( 25 ) = a * 25^2 + b * 25 = 12.5

50 * a + b = 0
625 * a + 25 * b = 12.5

f ( x ) = -0.02 * x^2 + x

Torwart
f ( 47 ) = -0.02 * 47^2 + 47
f ( 47 ) = 2.82 m
An der Stelle x = 47 m ist der Ball in der Höhe 2.82

Abschußwinkel
f ´ ( 0 ) = 2 * ( -0.02 ) * 0 + 1
f ´( 0 ) = 1
tan ( 45 ) = 1
Der Ball wurde in einem Winkel von 45 ° abgeschossen.

Flugbahn bleibt die Parabel

Neue Bedingungen
1. Hochpunkt 15 m
2. Erste Nullstelle (0|0)
3. Zweite Nullstelle (50|0)


Jetzt müssen die Berechnungen mit diesen Werten
wiederholt werden.

mfg Georg
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b.)
y = -0,02*x2 +12,5
y ( 22 ) = -0.02 * 22^2 + 12.5
y ( 22 ) = 2.82 m
Bei x = 22 m ist der ball in der Höhe 2.82 m.
Der Torwart erreicht den Ball nicht mehr.

c.)
y ´( x ) = -0.04 * x
y ´( -25 ) =  -0.04 * -25 = 1
tan 1 entspricht 45 °

d.)

f ( 25 ) = 0 ( Torlinie )
f ( 0 ) = 15 ( max Höhe )

Scheitelpunkt
( 0 | 15 )
y ( x ) =  a * ( x - 0 ) ^2 + 15
y ( x ) =  a * x^2 + 15
( 25 | 0 )
y ( 25 ) = a * 25^2 + 15 = 0
a * 25^2 + 15 = 0
a = -0.024

y ( x ) = -0.024 * x^2 + 15

Bitte nachprüfen.

Nachtrag d.)
y ( x ) = -0.024 * x2 + 15
y ´( x ) = - 0.048 * x
y ´( -25 ) = -0.048 * (-25) = 1.2
tan = 1.2 entspricht 50.19 °

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a) Ansatz f(x)=a/50(x-50). (25|12,5) einsetzen und nach a auflösen: a= - 1/50. Die Gleichung der Flugparabel lautet f(x)= - x/50(x-50).

Avatar von 123 k 🚀
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Scheitelform der Parabel:

f(x) = a*(x-0)^2 +12,5 = a*x^2+12,5

P(25|0)

f(25) = 625 a+12,5

625 a+12,5=0

a ≈ - 0,02

f(x) = -0,02*x^2+12,5

f´(x) = - 0,04 x

f´(-25) = - 0,04 *( - 25)= 1

Abschusswinkel ist 45°, weil tan(45°)=1Unbenannt1.PNG

mfG


Moliets

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Lege das Koordinatensystem so fest, dass der höchste Punkt auf der y-Achse liegt.

Die Nullstellen der Parabel liegen dann bei -25 und +25. Der y-Wert für x=0 ist 12,5.

f(x)=a*(x-25)*(x+25)=a*(x^2-625)

12,5=a*(-625)

a=-1/50=-0,02

f(x)=-0,02x^2+12,5

:-)

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