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Aufgabe:

Ein Tank besitzt eine Zufluss- und eine Abflussleitung. In Figur 1 sind die dazugehörigen momentanen Durchflussraten dargestellt. Zu Beginn sind 2 Liter im Tank. Wie viel befindet sich nach 2 Stunden, nach 4 Stunden, nach 6 Stunden und nach 8 Stunden im Tank?

Bild Mathematik


Ansatz/Problem:

Muss ich dort mir von 0 bis 2 ein Dreieck ausdenken und dann den Flächeninhalt berechnen? Wäre meine Vermutung.

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Bestimme die Differenz der Fläche unter dem Zuflussgraphen und der Fläche unter dem Abflussgraphen im betrachteten Zeitabschnitt und addiere das Ergebnis zu dem (unbekannten) bisherigen Tankinhalt.

Steht alles bereits in der Antwort zu der Frage hier: https://www.mathelounge.de/528188/was-ist-mit-von-der-anderungsrate-zur-gesamtanderung-gemeint

$$ \text{Volumen zum Zeitpunkt $T$}-\text{Volumen zum Zeitpunkt $0$} $$

$$=\int_0^T(\text{Zuflussrate zum Zeitpunk $t$}-\text{Abflussrate zum Zeitpunk $t$})\,dt$$

Nach 2 stunden gibt es 2 Dreiecke

kann ich das 1 dreieck - 2 dreieck machen also beide vorher ausrechen

Da das Integral linear ist, gilt $$\int_0^T(\text{Zuflussrate zum Zeitpunkt $t$}-\text{Abflussrate zum Zeitpunkt $t$})\,dt$$ $$=\int_0^T(\text{Zuflussrate zum Zeitpkt $t$})\,dt-\int_0^T(\text{Abflussrate zum Zeitpkt $t$})\,dt,$$ falls Du das meinst.

Befinden sich also nach 2 Stunden 2,5 Liter?

Deine Formulierung ergibt keinen Sinn. Abgesehen davon koennte ein wahrer Kern enthalten sein. In den Tank ist in den zwei Stunden ein Liter reingeflossen und ein halber Liter rausgeflossen. Ergibt netto ein Plus von einem halben Liter.

Zu beginn sind doch 2 Liter im Tank +0,5 sind doch 2,5 l ,ist doch richtig

"Befinden sich also nach 2 Stunden 2,5 Liter?" ist ein Satz ohne Sinn, es fehlt die Haelfte. Dass das richtige Ergebnis drin vorkommt, macht die Sache nicht besser.

5 Antworten

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Beste Antwort

schreibe doch mal die Zufluss- und Abflussfunktionen hin. Wenn Du das hast, kannst Du folgendes Integral für die Werte \(  t = 2, 4, 6, 8 \) berechnen

$$ f_{Füllstand}(t) = \int_0^t \left( z_{Rate}(x) - a_{Rate}(x) \right) dx $$

wobei \( z_{Rate}(t) \) = Zuflaussrate und \( a_{Rate}(t) \) = Abflussrate sind.

Avatar von 39 k
Wenn man die Integration ausführt kommt man auf folgendes Ergebnis

$$ f_{Füllstand}(t) = \begin{cases} \frac{1}{8}t^2 , & \text{wenn  } 0 \le t \le 4 \\ -\frac{3}{8}t^2+4t-8 , & \text{wenn  } 4 \le 8 \le 4 \end{cases} $$ Und das sieht so aus.
Bild Mathematik

wie bestimmt mn denn die Zufluss und Abflussfunktion ?

+2 Daumen

Allgemeine Formel: vgl. ullims Antwort. Formal stellst du die Geradengleichungen auf und integrierst mit geeigneten Grenzen.

Konkrete Rechnung mit Dreiecksflächen (Dreiecke = halbe Rechtecke) unter deinen Graphen:

Erste 2 Stunden

Zufluss (2 h*1m^3/h)/2 = 1 m^3

Abfluss (2 h*1/2 m^3/h) / 2 = 0.5 m^3

Im Tank nach 2 h: 1m^3 - 0.5 m^3 = 0.5 m^3

Erste 4 Stunden

Zufluss (4 h*2m^3/h)/2 = 4 m^3

Abfluss (4 h*1 m^3/h) / 2 = 2 m^3

Im Tank nach 4 h: 4 m^3 - 2m^3  = 2 m^3

Erste 6 Stunden (Symmetrie ausnützen)

Zufluss = Zufluss nach 4 h + Zufluss in den 2. 2h = 4m^3 + (4-1)m^3 = 7m^3

Abfluss (6 h*3/2 m^3/h) / 2 = 4.5 m^3

Im Tank nach 6 h: 7m^3 - 4.5m^3 = 2.5 m^3

Erste 8 Stunden (Symmetrie ausnützen)

Zufluss= 2*( in ersten vier Stunden) = 8m^3

Abfluss (8 h*4/2 m^3/h) / 2 = 8 m^3

Im Tank nach 8 h: 8m^3 -8m^3 = 0 m^3

Nach 8 h ist der Tank wieder leer.

Avatar von 162 k 🚀
Vielen Dank für die sehr ausführliche Anwort, insbesondere die Vorrechnung war sehr Hilfreich (da ich ein Referat zu dem Thema halten soll und es sehr hilft korrekte Antworten zur Absicherung zu haben)

Bitte. Gern geschehen!

Allerdings: Ohne nachrechnen darfst du nicht davon ausgehen, dass meine Antworten "sicher richtig" sind.

Du solltest bei Deiner Ausarbeitung beachten, dass der Aufgabe an keiner Stelle zu entnehmen ist, dass der Tank anfangs leer war... die vorgerechneten Lösungen unterstellen aber ganau dieses. Als Lehrer wäre mir dieser Umstand eine Nachfrage wert und als Referent müsstest Du deine Ergebnisse entsprechend interpretieren können!

Ich habe alle Antworten noch einmal nachgerechnet und komme nach deiner Erläuterung auch auf diese Lösungen... der Tank war zu Beginn tatsächlich leer, so das dies die Antwort auch nicht verfälscht hat, ich habe nur vergessen es zu erwähnen. Vielen Dank nochmal

0 Daumen

Ja, du musst am Ende durchaus m³ in Liter umrechnen.


Prinzipiell verstehe ich die Aufgabe und weiß was ich machen muss,

Dann bilde die erforderlichen bestimmten Integrale.

Avatar von 53 k 🚀
Dann bilde die erforderlichen bestimmten Integrale.

Ich glaube nicht das die Aufgabe darauf hinaus will. Hier sollen sicher nur die Flächen zwischen den Funktionen und der x-Achse mit einfachen geometrischen Mitteln bestimmt werden.

Da die Fragestellerin vor ca. 2 Monaten eine Frage zum Themengebiet "Anwendung der Differenzialrechnung" gestellt hat, ist eine jetzige Behandlung der Integralrechnung inzwischen durchaus vorstellbar.

0 Daumen

Das siehst du mal wie bekloppt mache Aufgabensteller sind. Sicher sollten das in der Aufgabe statt 2 Liter einfach 2 m³ lauten.

Aber wir als Schüler wandeln mal die 2 Liter um

2 Liter = 0.002 m³

Also

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Avatar von 477 k 🚀
0 Daumen

nach 2 Std
Zufluß - Dreieck - Fläche :
( 2 h * 1 m^3 / h ) / 2 = 1 m^3
Abfluß - Dreieck - Fläche :
( 2 h * 1/2 m^3 / h ) / 2 = 1/2 m^3

Zufluß minus Abfluß = 1/2 m^3

2 ( 0.002 m^3 ) Liter zu Beginn muß noch hinzuaddiert
werden = 0.502 m^3

Allerdings kommen mir 2 Liter reichlich wenig vor.

Frag nach wie es weitergeht.
Du mußt nur die Flächen unterhalb der
Geraden richtig berechnen

Zwischen 0 und 4
4 * 2 / 2  = 4 m^3
4 * 1 / 2 = 2 m^3

Avatar von 122 k 🚀

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