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Aufgabe Gram-Schmidt-Verfahren im Vektorraum der Polynomen:

Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) mit dem Skalarprodukt

\( <r, s>:=2 r_{2} s_{2}+r_{1} s_{1}+2 r_{0} s_{0} \)

mit \( r:=r_{2} x^{2}+r_{1} x+r_{0}, \quad s:=s_{2} x^{2}+s_{1} x+s_{0} \)

und eine Basis \( \mathscr{B}=\left\{p_{1}, p_{2}, p_{3}\right\} . \) (Die konkrete Basis \( \mathscr{B} \) ist im Aufgabenteil des Applets gegeben.)

Daraus soll eine Orthonormalbasis \( \left\{q_{1}, q_{2}, q_{3}\right\} \) nach dem Verfahren von Gram-Schmidt berechnet werden.

a) Berechnen Sie das normierte Polynom \( q_{1}:=\frac{p_{1}}{\|_{p_{1} \|}} \).

b) Berechnen Sie \( l_{2}:=p_{2}-<p_{2}, q_{1}>q_{1} \).

c) Berechnen Sie das normierte Polynom \( q_{2}:=\frac{b}{\left\|\iota_{2}\right\|} \).

d) Berechnen Sie \( l_{3}:=p_{3}-<p_{3}, q_{1}>q_{1}-<p_{3}, q_{2}>q_{2} \).

e) Berechnen Sie das normierte Polynom \( q_{3}:=\frac{l_{\mathrm{s}}}{\left\|l_{\mathrm{s}}\right\|} \).


Antwort:

\( \mathcal{B}=p_{1}, p_{2}, p_{3} \) mit \( p_{1}:=4 \cdot x^{2}+4, \quad p_{2}:=-7 \cdot x, \quad p_{3}:=-2 \cdot x^{2}+2 \cdot x+1 \)

\( q_{1} = \huge \square \)

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Um die Norm von p1 zu berechnen, musst du nur die Wurzel aus <p1,p1> ziehen.

Und mit deinem p1 = 4x^2 + 4 und dem Skalarprodukt 2*r2*s2 + r1*s1 + 2*ro*so

musst du rechnen <p1,p1> = 2*4*4 +  0*0 + 2*4*4 = 64 und √(64)=8

Also ist Norm(p1)=8 und damit:

q1 =  p1 / Norm(p1) = 0,5x^2 + 0,5

Avatar von 287 k 🚀

Wie bist du auf 0,5x² + 0,5 gekommen?

Könntest du mir erklären, wie du genau das Skalarprodukt anwendest?

p1 = 4x^2 + 4 und Norm(p1) = 8

da stand ja q1 = p1  /  Norm(p1)

= ( 4x^2 + 4 ) / 8 =  0,5x² + 0,5

für das Skalarprodukt hast du ja die Definition

< r,s > = 2*r2*s2 + r1*s1 + 2*ro*so

und die Norm von p1 ist ja die Wurzel aus dem Skalarprodukt <p1,p1>

also hast du r=p1 und s=p1 und wegen p1 = 4x2 + 4

also r2=4 r1=0 ro=4 und s2=4   s1=0   s0=4

alles bei 2*r2*s2 + r1*s1 + 2*ro*so eingesetzt gibt

2*4*4 +  0*0 + 2*4*4 = 64 und wurzel(64)=8


Also ist Norm(p1)=8 und damit  q1 =  p1 / Norm(p1) = 0,5x2 + 0,5

und wenn jetzt p1= -7x wäre, würde das eingesetzt das ergeben?

2*0*0+(-7)*(-7)+2*0*0

ja genau so ist es

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\( q_{1}=\frac { x }{ x²+\sqrt { 2 }  } \)

p1 = 2x²+2 und p2 = -7x

Nun weiß ich nicht wie ich das Skalarprodukt von p2 und q1 bilden kann, da q1 ja einen Bruch hat.


Dein q1 ist falsch!

q1=p1 / Wurzel ( <p1, p1 >)

q1=p1 / Wurzel( 2*2*2+0*0+2*2*2)

q1 =( 2x^2+2)/ (4)

q1= 1/2 x^2 +1/2

Ich gehe davon aus, dass p1 richtig ist.

Avatar von 8,7 k
Ja p1 ist gegeben! Ahhh ok also muss man nicht das x auch noch quadrieren, dann ergibt das wieder Sinn danke :D
Das x ist ja nicht im Skalarprodukt enthalten.

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