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Aufgabe:

Die Flughöhe eines Flugzeugs in einer Flugphase ist in der nebenstehenden Tabelle erfasst.

t (in min)25
h (in km)4,694,47

Beschreiben sie die Flughöhe durch eine Funktion h(t) = 4 + a · e^{-k·t}.

Wie groß sind die durchschnittliche sowie die maximale Sinkgeschwindigkeit während der 10-minütigen Flugphase?

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h(t) = 4 + a * e^-k*t 
einsetzen gibt
 
h(2) = 4 + a * e^{-k*2}  und h(5) = 4 + a * e^{-k*5} 

und da du ja auch die Ergebnisse hast

4,69 = 4 + a * e^{-k*2}  nach a auflösen gibt  a = 0,69 /   e^{-k*2}

4,47 = 4 + a * e^{-k*5}

aufgelöste 1. Gl. bei a in der 2. einsetzen gibt

4,47 = 4 +  (0,69 /   e^{-k*2} )* e^{-k*5}

0,47 =  e^{-k*5}*0,69 /    e^{-k*2}   | : 0,69

0,681 =   e^{-k*5} /    e^{-k*2}   und jetzt Potenzgesetz:   x^t / x^s = x t-s     

0,681 = e -5k - (-2k)           = e -3k     | ln(....)

ln(0,681) = -3k

-0,384 = - 3k   | : -3

0,128 = k

Jetzt wieder in die allererste Gleichung 4,69 = 4 + a * e^{-k*2}

einsetzen

4,69 = 4 + a * e -0,128*2  =  4 + a * e -0,256 = 4 + a* 0,774  | -4

0,69 = a * 0,774   | : o,774

0,891 = a

Dann hast du also

h(t) = 4 + a * e^-k*t  =  4 + 0,891*e - 0,128*t  

10 minütige Flugphase heißt, von t=0 bis t=10

durchschnittliche Sinkkgeschwindigkeit = durchschnittliche Steigung

= Differenzenquotient von 0 bis 10 =

( h(10) - h(0) )  /  ( 10 - 0 ) = (4,25 - 4,89 ) / 10 = -0,643 / 10 = - 0,064 

also - 0,064 km/min  bzw.  Das Flugzeug sinkt um 64m pro min.

Die die momentane Sinkgeschwindigkeit ist h ' (t) = 0,891*(-0,128)*e - 0,128*t  

                                                                       = -0,114*e - 0,128*t  

Je größer t wird, desto näher kommt dieser Wert an Null heran.

(Setze mal für t z.B. die Werte 1 , 5, 8, 10 ein.)

Also ist der größte Wert (weil die alle negativ sind, ist der größte ja der,

der am nächsten bei Null liegt) bei t=0 erreicht und beträgt    h ' (10) = - 0.032 km/min.


  

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Wäre die maximale Sinkgeschwindigkeit nicht bei t = 0?

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