Logistische Differentialgleichung lösen: x'(t) = -λx(t) * (n - x(t))

Question

Folgende logistische Differentialgleichung soll gelöst werden:

\( \dot{x}(t)=-\lambda x(t) *(n-x(t)) \)

Comments

Nach Ausmultiplizieren hast du \( x'(t)=-\lambda n x(t) + \lambda x^2(t) \).

Substituiere \( u(t) := x(t)^{-1} \)

Answer 1

Hi,

die Dgl. nennt sich logistische Differentialgleichung und die Lösung kannst Du mittels Trennung der Variablen lösen. Die Lösung kannst Du hier nachlesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion

Dabei musst Du aber die Anfangsbedingung kennen, also welchen Wert die Lösungsfunktion \( x(t) \) an der Stelle \( t = 0 \) annimmt.

In dem Link ist auch eine Lösung dargestellt, für spezielle Parameter.

Die vorgeschlagene Transformation \( u = x^{-1} \) benötigst Du nicht.

Answer 2

Hallo !

Deine Funktion lässt sich verallgemeinern auf -->

f´(t) = a * f(t) + b * f´´(t)

In deinem Fall ist a = - Lambda * n und b = Lambda

Die Lösung dieser Form von Differentialgleichung findest du hier -->

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%C2%B4%28t%29%3Da*f%28t%29%2Bb*f%C2%B4%C2%B4%28t%29

LG Spielkamerad