Zeigen Sie: F ist stetig. Konstruieren Sie eine Funktion … (Beweise zur Stammfunktion)

Question

Aufgabe:

Sei \( f \in R([a, b]) \) und \( F:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch

\( F(x)=\int \limits_{a}^{x} f(t) d t \)

Zeigen Sie:

a) \( F \) ist stetig.

b) Ist \( f \) stetig in \( x_{0} \in[a, b] \), dann ist \( F \) differenzierbar in \( x_{0} \), und es gilt \( F^{\prime}\left(x_{0}\right)= \) \( f\left(x_{0}\right) \)

c) Seien \( a=0 \) und \( b=1 . \) Konstruieren Sie eine Funktion \( f \in R([0,1]) \), so dass \( f \) unstetig in 0 ist, aber \( F \) eine Stammfunktion von \( f \) ist.

Das folgende Übungsblatt benutzt einige vom Gathmann-Skript abweichenden Notationen. Daher hier eine kurze Erklärung:

- Für \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) bezeichnet \( B([a, b]) \) die Menge der beschränkten Funktionen von \( [a, b] \) nach \( \mathbb{R} \). Desweiteren bezeichnet \( R([a, b]) \) die Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen von \( [a, b] \) nach \( \mathbb{R} \).

- \( \int \limits_{0 *}^{1} f(x) d x \) bezeichnet das Unterintegral von \( f \).

- Analog bezeichnet \( \int \limits_{0}^{1 *} f(x) d x \) das Oberintegral von \( f \).

Answer 1

Hi,
zu (a)
hier denke ich muss zusätzlich vorausgesetzt werden, dass die Funktion \( f \) beschränkt sein muss. Dann kann man wie folgt argumentieren:
Sei $$ F(x) = \int_a^x (t) dt $$ dann gilt
$$ | F(x)-F(x_0) | = \left| \int_a^x f(t) dt - \int_a^{x_0} f(t) dt \right| = \left| \int_{x_0}^x f(t) dt \right| \le M \left| x-x_0 \right| $$
Und deshalb gilt $$ F(x_0) \to F(x)  $$

zu (b)
$$ \left| \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} - f(x) \right| = \left|  \frac{ \int_{x_0}^x f(t) dt }{x-x_0} - f(x) \right| = | f(\xi) - f(x) | $$ wegen dem Zwischenwertsatz der Integralrechnung der für stetige Funktionen gilt mit einem \( \xi \in [x_0, x] \), damit gilt $$ F'(x) = f(x) $$ falls \( x \to x_0 \) geht.

zu (c)
Betrachte die Funktion $$ F(x) = x^2sin\left( \frac{1}{x} \right)  $$ \( F(x) \) ist Stammfunktion zu \( f(x) = 2x\cdot sin\left( \frac{1}{x} \right) - cos\left( \frac{1}{x} \right) \)
Aber \( f(x) \) ist in \( x = 0 \) unstetig.