Grenzwert mit L'Hospital berechnen: lim(x→∞) (π/2 - arctan(x))^{1/ln(x)}

Question

Ich komme nicht mit einem Grenzwert klar. Er soll mit L'Hospital berechnet werden.

$$\lim\limits_{x\to\infty} { \left(\frac { \pi  }{ 2 } -\arctan{x}\right) }^{ \frac { 1 }{ \ln{x} }  }=\exp\left( \frac { 1 }{ \ln{x} } \ln\left( \frac { \pi  }{ 2 } -\arctan{x}\right)\right)$$ nur der Exponent. $$=\frac { 1 }{ \ln{x} } \ln\left(\frac { \pi  }{ 2 } -\arctan{x}\right)=\frac { \ln\left(\frac{ \pi  }{ 2 } -\arctan{x}\right)}{\ln{x}} $$ ist jetzt von Typ \( \frac { -\infty }{\infty} \) also kann man L'Hospital anwenden.

$$\doteqdot \frac { \frac { 1 }{ \pi/2 -\arctan{x} } \left(0-\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } \right) }{ 1/x } =\frac { -\frac { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } }  }{\pi/2 -\arctan{x} }  }{1/x } =\frac { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } }  }{ \pi/2 -\arctan{x} } $$ und hier sitze ich nun fest. Es ist wieder ein Typ 0/0 doch die Ableitungen davon bringt mir auch nichts. Kennt jemand eine Lösung oder kann mir jemand sagen wo ich den Fehler gemacht habe.

Answer 1

bei dir ist das \(\frac{1}{x} \) aus dem Nenner verschwunden,

Die letzte Gleichung ist demnach falsch und es müsst heißen:

$$ ...= \frac{\frac{x}{1+x^2}}{\frac{\pi}{2}-\arctan (x)} $$

Jetzt kannst du mit l'Hospital weiter machen.

Kontrolle: Der Grenzwert des Exponenten ist \(-1\) und somit geht der anfangs betrachtete Ausdruck gegen \( \frac{1}{e} \).

Gruß

Comments

Schon mal vielen Dank für deine Hilfe. Du hast vollkommen Recht, das x habe ich vergessen. Aber dann kann ich ja dennoch kein L'Hospital anwenden.

$$-\frac { \frac { x }{ 1+{ x }^{ 2 } }  }{ \frac { \pi  }{ 2 } -arctan(x) } $$ ist ja von Typ $$\frac { \infty  }{ 0 } $$

was ich gemacht habe war dann folgendes:

$$-\frac { \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ x } +{ x } }  }{ \frac { \pi  }{ 2 } -arctan(x) } \quad \text{Typ} \frac { 0 }{ 0 } $$

doch die Ableitung davon hat mich nicht weit gebracht.

$$\frac { \frac { \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } }  }{ { (\frac { 1 }{ x } +x) }^{ 2 } }  }{ \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } }  } =\frac { \frac { 1+{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } (1+{ x }^{ 2 }) }{ { (\frac { 1 }{ x } +x) }^{ 2 } } =\frac { \frac { 1+{ 2x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } }  }{ { (\frac { 1 }{ x } +x) }^{ 2 } } =\frac { \frac { 1+{ 2x }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } }  }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } +{ x }^{ 2 }+2 } =\frac { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } +{ 2 }+1 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } +{ x }^{ 2 }+2 }  $$

Ich habe wahrscheinlich wieder irgendwo Misst gebaut.

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Hey dein Fehler liegt in der Annahme, das du kein l'Hospital mehr anwenden darfst:

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x}{1+x^2} = 0 $$

Also geht der Zähler sehr wohl gegen 0 und nicht gegen \(\infty\) ;)

Nachtrag:

Es ergibt sich dann ja

$$ ... = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{ \frac{ 1-x^2}{(1+x^2)^2}}{-\frac{1}{1+x^2} } $$

Hier kannst du kürzen und bist "fast" fertig. :)

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Hab das ursprüngliche Vorzeichen vergessen: es müsste heißen

$$ ... = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{ - \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}}{-\frac{1}{1+x^2} }$$

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:-) verdammt, ich habe nur gesehen unendlich durch unendlich, aber das da 0 kommt nicht. Jetzt ging das natürlich. Ich schreibe den Weg noch mal auf.

$$\underset { x\rightarrow \infty  }{ lim } { (\frac { \pi  }{ 2 } -arctan(x)) }^{ \frac { 1 }{ ln(x) }  }=\quad { e }^{ \frac { 1 }{ ln(x) } ln(\frac { \pi  }{ 2 } -arctan(x)) }$$

nur der Exponent

$$\frac { 1 }{ ln(x) } ln(\frac { \pi  }{ 2 } -arctan(x))\quad =\quad \frac { ln(\frac { \pi  }{ 2 } -arctan(x)) }{ ln(x) } \quad \doteqdot \quad \frac { \frac { 1 }{ \frac { \pi  }{ 2 } -arctan(x) } (0-\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } ) }{ \frac { 1 }{ x }  } $$

$$\frac { -\frac { \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } }  }{ \frac { \pi  }{ 2 } -arctan(x) }  }{ \frac { 1 }{ x }  } \quad =\quad \frac { \frac { x }{ 1+{ x }^{ 2 } }  }{ \frac { \pi  }{ 2 } -arcan(x) } \quad \doteqdot \quad \frac { -\frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ 2 } }  }{ -\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } }  } \quad =\quad \frac { (1-{ x }^{ 2 })(1+x^{ 2 }) }{ { (1+{ x }^{ 2 }) }^{ 2 } } $$

ich weiß nicht ob ich ab hier ein längeren Weg gewählt, aber es hat mich zum Ziel geführt.

$$\frac { 1-{ x }^{ 4 } }{ { 1+2{ x }^{ 2 }+{ x }^{ 4 } } } \quad =\quad \frac { \frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } -1 }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 4 } } +\frac { 2 }{ { x }^{ 2 } } +1 } \quad \underset { x\rightarrow \infty  }{ \longrightarrow \quad \frac { -1 }{ 1 } =-1 } $$

$$\underset { x\rightarrow \infty  }{ lim } { (\frac { \pi  }{ 2 } -arctan(x)) }^{ \frac { 1 }{ ln(x) }  }=e^{-1} = \frac{1}{e}$$

Ich hoffe das war richtig.

Gruß und vielen Dank

Anderlin

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Kein Problem ist alles richtig jetzt :).

An der einen Stelle hättest du noch \((1+x^2) \) kürzen können, aber viele Umstände hat dir das ja jetzt nicht bereitet :)