Finden Sie c ∈ ℝ derart, dass die Funktion stetig ist: f(x):=arctan(1/|x|) für x≠0 und f(0):=c.

Question

Aufgabe:

Finden Sie \( c \in \mathbb{R} \) derart, dass die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \arctan \frac{1}{|x|} & \text { für } x+0 \\ c & \text { fiar } x=0 \end{array}\right. \)

stetig ist.

Untersuchen Sie die so erhaltene Funktion auf Differenzierbarkeit im Punkt \( x=0 \).

Comments

Zur Stetigkeit: Nutze aus, dass arctan(1/x) in der Umgebung von 0 beschränkt ist .-)

Answer 1

Für x gegen 0 geht 1/|x| gegen unendlich,
also
ist lim ( arctan ( 1/|x|) für x gegen 0
 =  lim ( arctan ( y|) für y gegen unendlich  =  pi/2
also ist das gesucht c = pi/2.

sowohl für pos. als auch für neg. x ist die Ableitung
von f(x) =  arctan(x) + arctan( 1/x ) = 0 also ist die Funktion jeweils
konstant und mit f(1)= pi/2 hat man

arctan(x) + arctan( 1/x ) =pi/2 für alle x aus IR ohne {0}

also:     arctan( 1/x ) =pi/2 -    arctan(x)

Dann ist der Diff.quot. für deine Funktion an der Stelle 0

(f(0+h) - f(0)) / h     = ( arctan(1/|h|) - pi/2   ) / h

=  ( pi/2 -    arctan(|h|)  - pi/2 ) / h

=   -    arctan(|h|)  /  h

also für h>0 und h gegen 0 ist das der Diff.quot von  - arctan(x) bei x=0

also ist der GW   -  arctan ' ( 0 ) =  - 1 / (1+x^2) für x=0 also = -1

für h<0 und h gegen 0 ist das der Diff.quot von  - arctan(-x) bei x=0

aber - arctan(-x) hat die Ableitung  +1 / (1+x^2)

also ist der GW   des Diff.quot =  1 / (1+x^2) für x=0 also = +1

also hat der Diff.quot. für h gegen 0 allgemein keinen Grenzwert und

die Funktion ist bei x=0 nicht diffb.

siehst du auch bei einem Plotten des Graphen, Ableitung bei

x=0 ist rechts und links von 0 unterschiedlich, der Graph hat dort

einen Knick.