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\({f}_{1} = {f}_{2} = 1\) und \({f}_{n+2} = {f}_{n+1} + {f}_{n}\) für \(n ≥ 1.\)


1)

Wir definieren die Folge \( ({ x }_{ n }){  }_{ n\geq1 } \) durch \( { x }_{ n }:=\frac { { f }_{ n } }{ { f }_{ n+1 } } .\) Überprüfen Sie: $$ { x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 1+{ x }_{ n } .} $$

2)

Beweisen Sie per Induktion, dass \( \frac { 1 }{2}\leq{ x }_{ n }\leq1  \) für alle \(n\geq1\) gilt.


3)

Beweisen Sie, dass \( ({ x }_{ n }){  }_{ n\geq1 } \) Cauchy-Folge ist.


4)

Mit Hilfe von 1) und 3) berechnen sie $$\lim _{ n→\infty }{ { x }_{ n } } . $$

von

Wo ist das Problem? Bei a) musst du doch einfach nur die Definition einsetzen und ein bisschen umformen.

Wie würde man anfangen? Das klingt etwas zu simpel.

Wie ich schon sagte: Einsetzen der Definition.

Was ist denn \(x_{n+1}\)?

\({x}_{n}\) ist ja anders ausgedrückt \( \frac { { f }_{ n+2 }-{ f }_{ n+1 } }{ { f }_{ n+2 }-{ f }_{ n } } \). Muss ich von hier auf \( \frac { 1 }{ 1+{ x }_{ n } } \) kommen?

Oder soll ich mit \( { x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 1+\frac {{ f }_{ n } }{ { f }_{ n+1 }}} \) arbeiten?

Die letzte Gleichung sollst du ja zeigen; damit kannst du jetzt noch nicht arbeiten.

Nach Definition gilt: \(x_{n+1}=\frac{f_{n+1}}{f_{n+2}}=\frac{f_{n+1}}{f_{n+1}+f_n}.\) Versuch das jetzt mal so umzuformen, dass am Ende \(\frac{1}{1+\frac{f_n}{f_{n+1}}}\) dasteht.

Ok, vielen Dank schonmal.

1 Antwort

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xn+1 = 1 / ( 1 + xn  ) = 1 /  (  1  +  fn / f n+1  )  =  mit f n+1  erweitern
=  f n+1 /  (   f n+1  + f n ) =   f n+1 /  f n+2 wegen Def von f n+2
von 152 k
Muss bei der 2) auch nur umgeformt werden?
zu 2)  0,5 ≤ xn  ≤ 1    sei für ein n erfüllt.
dann gilt:

   1,5 ≤1+ xn  ≤ 2     und für positive a,b gilt ja immer   a < b  folgt  1/a  >  1/b
also hier
   2/3  ≥  1 / ( 1 +xn ) ≥ 0,5
   2/3  ≥  xn+1  ≥ 0,5    also auch      1 ≥  xn+1  ≥ 0,5

zu 3)  ??

zu 4) wenn 3 stimmt, dann hat die Folge xn einen Grenzwert. g
und für n gegen unendlich wird aus
  xn+1  = 1 / ( 1+ xn )

g =  1 / ( 1 + g )
und das gilt für    ( -1 ± wurzel(5) ) / 2   und weil das Erg ja pos. sein muss
ist der Grenzwert       ( -1 + wurzel(5) ) / 2

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