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Wir definieren die Folge \( (f_{n})_{n≥1} \) der Fibonacci-Zahlen rekursiv:

\({f}_{1} = {f}_{2} = 1\) und \({f}_{n+2} = {f}_{n+1} + {f}_{n}\) für \(n ≥ 1.\)


1)

Wir definieren die Folge \( ({ x }_{ n }){  }_{ n\geq1 } \) durch \( { x }_{ n }:=\frac { { f }_{ n } }{ { f }_{ n+1 } } .\) Überprüfen Sie: $$ { x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 1+{ x }_{ n } .} $$

2)

Beweisen Sie per Induktion, dass \( \frac { 1 }{2}\leq{ x }_{ n }\leq1  \) für alle \(n\geq1\) gilt.


3)

Beweisen Sie, dass \( ({ x }_{ n }){  }_{ n\geq1 } \) Cauchy-Folge ist.


4)

Mit Hilfe von 1) und 3) berechnen sie $$\lim _{ n→\infty }{ { x }_{ n } } . $$

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Wo ist das Problem? Bei a) musst du doch einfach nur die Definition einsetzen und ein bisschen umformen.

Wie würde man anfangen? Das klingt etwas zu simpel.

Wie ich schon sagte: Einsetzen der Definition.

Was ist denn \(x_{n+1}\)?

\({x}_{n}\) ist ja anders ausgedrückt \( \frac { { f }_{ n+2 }-{ f }_{ n+1 } }{ { f }_{ n+2 }-{ f }_{ n } } \). Muss ich von hier auf \( \frac { 1 }{ 1+{ x }_{ n } } \) kommen?

Oder soll ich mit \( { x }_{ n+1 }=\frac { 1 }{ 1+\frac {{ f }_{ n } }{ { f }_{ n+1 }}} \) arbeiten?

Die letzte Gleichung sollst du ja zeigen; damit kannst du jetzt noch nicht arbeiten.

Nach Definition gilt: \(x_{n+1}=\frac{f_{n+1}}{f_{n+2}}=\frac{f_{n+1}}{f_{n+1}+f_n}.\) Versuch das jetzt mal so umzuformen, dass am Ende \(\frac{1}{1+\frac{f_n}{f_{n+1}}}\) dasteht.

Ok, vielen Dank schonmal.

1 Antwort

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Beste Antwort
xn+1 = 1 / ( 1 + xn  ) = 1 /  (  1  +  fn / f n+1  )  =  mit f n+1  erweitern
=  f n+1 /  (   f n+1  + f n ) =   f n+1 /  f n+2 wegen Def von f n+2
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Muss bei der 2) auch nur umgeformt werden?
zu 2)  0,5 ≤ xn  ≤ 1    sei für ein n erfüllt.
dann gilt:

   1,5 ≤1+ xn  ≤ 2     und für positive a,b gilt ja immer   a < b  folgt  1/a  >  1/b
also hier 
   2/3  ≥  1 / ( 1 +xn ) ≥ 0,5
   2/3  ≥  xn+1  ≥ 0,5    also auch      1 ≥  xn+1  ≥ 0,5  

zu 3)  ??

zu 4) wenn 3 stimmt, dann hat die Folge xn einen Grenzwert. g
und für n gegen unendlich wird aus
  xn+1  = 1 / ( 1+ xn

g =  1 / ( 1 + g )
und das gilt für    ( -1 ± wurzel(5) ) / 2   und weil das Erg ja pos. sein muss
ist der Grenzwert       ( -1 + wurzel(5) ) / 2

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