Für welche a ∈ ℝ hat das folgende lineare Gleichungssystem genau eine Lösung?

Question

Aufgabe:

Für welche \( a \in \mathbb{R} \) hat das folgende lineare Gleichungssystem genau eine Lösung?

\( \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 2 & a-1 & 1 \\ 1 & a & -1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \)

Ansatz/Problem:

Ich habe das Ergebnis a=-1 mit der det(M) berechnet, ich wollte nur wissen, ob es einen besseren/anderen Weg gibt, mit dem ich z.b auch herausfinde für welches a es keine bzw. unendliche Lösungen gibt?

Ich kenne die Bedingungen wann diese Fälle eintreffen, allerdings - wenn ich die Matrix in die Stufenform bringe löscht sich am Ende a weg, und es bleibt:

-2=2 in der letzten Zeile

1  -1  0  | 1
0 a+1 1 | 0
0 a+1 -1 | 2

Answer 1

für a ungleich -1

Ich kenne die Bedingungen wann diese Fälle eintreffen, allerdings - wenn ich die
Matrix in die Stufenform bringe löscht sich am Ende a weg, und es bleibt=
-2=2 in der letzten Zeile

Das heißt doch nur x3= -1

in die 2. eingesetzt gibt das (a+1)*x2 +1*(-1) = 0

(a+1)*x2 = 1

und wenn du jetzt das x2 ausrechnen willst, musst du unterscheiden:

für a ungleich -1 geht es und für a=-1 gibt es  o*x2 = 1, also gibt es keine Lösung.