Mathematik (Extremwertaufgaben):

Question

ich habe (endlich) mal eine Mathematische Frage, die mich schon seit ein paar Woche wurmt.

Viele Bereiche der Analysis beherrsche ich gut, wenn es jedoch um Extremwertaufgaben geht, habe ich meine Schwierigkeiten. Wenn ich aus Internetforen entnehme wie man Extremwertaufgaben behandelt, weis ich genauso viel wie vorher.

Da ich bisher nur positive Erfahrungen in diesem Forum gemacht habe, lautet meine Frage an euch:
Wie gehe ich Schrittweise vor, um Extremwertaufgaben zu lösen? Wie kann man z.B. die größtmögliche Fläche eines Dreiecks berechnen, welches von der x-Achse und der Funktion f(x)= -x^2 + 3 begrenzt wird (Habe ich jetzt einfach mal erfunden).

Und meine letzte Frage: Wieso ersetzt man x durch u (oder andere Variablen)?.

und :-)

Comments

Meinst du damit, dass 2 der Punkte des Dreiecks identisch mit den Nullstellen der Funktion sind und der dritte dann auf der Parabel liegt? Oder eher, dass die 3 Punkte irgendwo auf der Parabel und der x-Achse [natürlich nur zwischen den Nullstellen] liegen können?

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So, dass die Punkte irgendwo auf der Parabel liegen. Mein Beispiel war schlecht, für den Schnittpunkt mit der y-Achse und die zwei Nullstellen wird A natürlich am größten. Aber gemeint sind beliebige Punkte (z.B. mehrere für die die Frage erfüllt ist).

Hier mal eine richtige Aufgabe (bei der ich die Lösung absolut nicht nachvollziehen kann):
Gegeben sei die Funktion: f1(x) = sin(π/2x - π/2) + 1/2

"Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K1 und den Parallelen zur ersten und zur zweiten Winkelhalbierenden durch den Punkt P(2 / -0.5) eingeschlossen wird".
Hier ist es ja noch einfach, g1 = x - 2.5 und g2 ist der Kehrtwert der Funktion.
Die Fläche berechnen ist auch einfach...

Jetzt kommt es: "In diese Fläche werden Rechtecke mit achsenparallelen Seiten einbeschrieben. Bestimmen Sie einen Eckpunkt des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt".

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Gibt's dazu vielleicht eine Abbildung?

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Anbei die Lösung (Aufgabe c))

 

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Hardcore, oder? :-D

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Ich schau's mir jetzt dann mal an ;)

Answer 1

allgemeine Vorgehensweise:

1. Aufgabe lesen

2. Aufgabe verstehen (was soll maximiert bzw. minimiert werden)

3. allgemeine Zielfunktion aufstellen (zum Beispiel die Fläche eines Rechtecks) mit allen Variablen die Einfluss auf diese Funktion haben (Flächeninhalt des Rechtecks ist abhängig von der Länge 2er Seiten die sich berühren).

4. Durch die Nebenbedingungen (zum Beispiel gegebener Umfang, etc) die Zielfunktion so bearbeiten, dass sie nur von einer Variable abhängig ist

5. Mit Differentialrechnung auf Maxima und Minima untersuchen

Gruß