Mathe-Artikel: Kurvendiskussion Crash-Kurs Teil 2

Question

Fortsetzung

Schritt 4 Extrema => g'(x)=0 setzen -> alle x_E fiden, für die dies gilt: Extrema bei (x_E|g(x_E))

g'(x)=0

Erneut wird hier die Polynomdivision gebraucht(,da Funktion 4. Grades) (x-2) weiterhin verwendbar

0=-8/5x²+7x-18/5|:-8/5

0=x²-35/8x+9/4

*pq-Formel*

0=-p/2±√(p/2)²-q

x₁ = 3.779
x₂ = 0.595

Nun in die erste Funktion einsetzen für die y-Werte: (3,779|3,449) u. (0,595|1,834)

An diesen Punkten ist ein Extrempunkt. Handelt es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt?

Durch das Einsetzen von den x-Werten in g''(x) erhält man einen Wert. Wenn dieser größer als 0 ist, hat man es mit einem Tiefpunkt zu tun. Ein Hochpunkt liegt dann vor, wenn der Wert unter 0 ist. Hierbei sind beide Hochpunkte

Da die erste Ableitung für die Extremwerte zuständig ist( vgl. Extremalaufgabe), muss diese mit Null gleichgesetzt werden

Schritt 5 Wendepunkte => g''(x)=0 setzen -> alle x_w finden, für die dies gilt -> Wendepunkt bei (x_w|g(x_w))

g''(x)=0

Auch hier verwenden wir die p-q Formel

*pq-Formel*

0=-p/2±√(p/2)²-q

x₁=3,05

x₂=1,2

Nun in die erste Funktion einsetzen für die y-Werte: (3,05|1,95) u. (1,2|1)

An diesen Punkten ist ein Wendepunkt. Handelt es sich um einen Rechts-Links oder Links-Rechts Wendepunkt?

Durch das Einsetzen von den x-Werten in g'''(x) erhält man einen Wert. Wenn dieser größer als 0 ist, handelt es sich um einen Rechts- Links Wendepunkt. Ist dieser jedoch kleiner als 0 --> Links-Rechts

Besonderer Wendepunkt:

falls g'(x)=0 und g(''x)=0 und g'''(x)≠0 dann nennt man diesen Sattelpunkt

Schritt 6 Symmetrie =>g(-x) betrachten

g(-x)=g(x) -->Achsensymmetrie

g(-x)=-g(x) --> Punktsymmetrie

Anhand des Grades der Funktion kann auch auf die Symmetrie gekommen werden.

Schritt 7 Zeichnen falls benötigt kann man mit der Hilfe der errechneten Punkte leichter einen Funktionsgraphen zeichnen.

Schritt 8 Deuten

Wenn wir uns nun erneut den Graphen anschauen, so sehen wir, dass alle Punkte übereinstimmen

Hier zur Anschauung die errechneten Punkte

Nullstellen (0|0) (2|0) (4,5|0) (Lineafaktorschreibweise: (x-0)*(x-2)*(x-4,5))

Extrema (3,779|3,449) u. (0,595|1,834)

Wendepunkte (3,05|1,95) u. (1,2|1)

(Links-rechts) (Rechts-links)

Die gegebene Funktion beschreibt ja die Niederschlagsmenge. Durch die gesammelten Infos können wir jetzt einiges über die nächtlichen Schauer sagen:

Bei den Nullstellen war der Regen im kaum Messbaren

Die Höhepunkte zeigen uns wann es wirklich stark vom Himmel strömte (höchster Punkt des Intervalls)

Wendepunkte weisen uns darauf hin, dass es ein Zeitpunkt der schnellsten Geschwindigkeit ist oder in diesem Beispiel eben das rascheste Abnehmen des Niederschlags.

Diese Funktion kann auch als Widerspieglung für Die Höhe eines Heißluftballons während einer Fahrt gesehen werden oder für die Konzentration eines Medikaments im Blut.

Wenn ihr Ideen habt, könnt ihr in den Kommentaren weitere Anwendungsgebiete für die Funktion angeben und was bei den errechneten Punkten geschieht

Bei Fragen und Verbesserungsvorschlägen bitte sofort melden.

Gruß Luis

Comments

Dein Teil 2 ist leider ebenfalls NICHT geeignet, eine saubere Kurvendiskussion durchzuführen.

Gleiche Kritikpunkte wie in Deinem ersten Teil (z.B. sehr, sehr ungeschicktes Rechnen).

Desweiteren mathematisch unsaubere Vorgehensweise,

Fehlen von notwendigen / hinreichenden Bedingungen usw. usf.

Ich empfehle, schaue Dir eine korrekte Kurvendiskussion im Netz an, dann könntest Du ja nochmal neu aufsetzen.

Ich nehme an, Du bist Klasse 11 auf einem Oberstufenzentrum und ihr behandelt gerade Kurvendiskussion ...

Mit dem vorgelegten Crashkurs würdest Du NICHT die volle Punktzahl erhalten.

Desweiteren würdest Du mit Deiner (ungeschickten) umständlichen Vorgehensweise zeitlich auch gar nicht hinkommen.

Lieber Luis, da ist noch Luft nach oben ...

LG M.