Aufgabe:
Die Vektoren \( \dot{v}_{1}=\left(\begin{array}{lll}2 & -2 & 3\end{array}\right)^{T} \) und \( \dot{v}_{2}=\left(\begin{array}{lll}-1 & -4 & 1\end{array}\right)^{T} \) spannen eine Ebene durch den Koordinatenursprung auf.
Wie lautet die Matrix, die eine Drehung um \( \frac{\pi}{2} \) in dieser Ebene beschreibt?
Da die Drehrichtung nicht eindeutig festgelegt wurde, gibt es 2 Lösungen. Bitte geben Sie beide an.
Die Drehachse ergibt sich durch \( \dot{w}=\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ 3\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}-1 \\ -4 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10 \\ -5 \\ -10\end{array}\right) \) und
\( d=\frac{1}{\|\vec{w}\|} \vec{w}=\frac{1}{\sqrt{225}}\left(\begin{array}{c}10 \\ -5 \\ -10\end{array}\right)=\frac{1}{15}\left(\begin{array}{c}10 \\ -5 \\ -10\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ -2\end{array}\right) \).
Damit ist \( \vec{d} \cdot d^{T}=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 2 & 4\end{array}\right) \) und
\( \mathbf{D}_{*}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\right) \)
Für \( \varphi=\frac{\pi}{2} \) ist \( \sin \varphi=1, \cos \varphi=0 \). Es ergibt sich die Rotationsmatrix
\( \mathbf{R}_{\varphi}^{ \vec{d} }=d d^{r}+\mathbf{D}^{\prime}=\frac{1}{9}\left(\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 2 & 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0 & 6 & -3 \\ -6 & 0 & -6 \\ 3 & 6 & 0\end{array}\right)\right)=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}4 & 4 & -7 \\ -8 & 1 & -4 \\ -1 & 8 & 4\end{array}\right) \)
Da die Richtung der Drehachse nicht festgelegt war, könnte die Drehung auch in die umgekehrte Richtung erfolgen, d.h. entlang der Achse \( -\vec{d} \) oder mit einem Winkel von \( \varphi=-\frac{\pi}{2} \), In beiden Fallen ergibt sich die zweite Lösung:
\( \mathbf{R}_{-\rho}^{ \vec{d} }=\mathbf{R}_{\varphi}^{-\vec{d} } = \left(\mathbf{R}_{\rho}^{ \vec{d} } \right)^{T}=\mathbf{D}-\mathbf{D}^{\prime}=\frac{1}{9}\left(\left(\begin{array}{ccc}4 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 2 & 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0 & 6 & -3 \\ -6 & 0 & -6 \\ 3 & 6 & 0\end{array}\right)\right)=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc}4 & -8 & -1 \\ 4 & 1 & 8 \\ -7 & -4 & 4\end{array}\right) \)
