Wie berechne ich die Basis und den Exponent?

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Hallo! Ich gehe in dei 5. Klasse Gymnasium.

Ich verstehe leider nicht, wie ich, ohne  lang rumzurechnen und auszuprobieren auf die Basis und den Exponent komme, wenn ich z. B. die Zahl 343 als Potenz angegeben habe. Das kann doch nicht nur durch ausprobieren gehen.

Es wäre toll, wenn mir jemand hilft.

max =)
Gefragt 7 Mär 2012 von Artimus2000

3 Antworten

+1 Punkt
du meinst, 343 ist der potenzwert? also

x hoch y = 343

und du möchtest x und y rausbekommen, basis und exponent? dazu nutzt man den logarithmus. ich weiß nicht, ob ihr den schon in der schule hattet. der logarithmus geht so:

x hoch y = z (basis hoch exponent = potenzwert)

logarithmus von z zur basis x ist gleich y. also logarithmus von potenzwert z zur basis x ist gleich exponent y. du kannst die basis frei wählen und der logarithmus gibt dir den exponenten um auf deinen potenzwert 343 zu kommen. also z.b. 2 hoch WAS ist 8?

logarithmus von 8 zur basis 2 ergibt 3, weil 2 hoch 3 = 8 ist. also ist 2 hoch logarithmus von 8 zur basis 2 = 8. mit dem taschenrechner berechnest du das so:

log potenzwert : log basis, in deinem fall also log 343 : log (frei wählbare basis) = der gesuchte exponent

es gibt auch spezielle rechengesetze für den logarithmus, das ist nicht so leicht zu verstehen. hoffe ich konnte trotzdem irgendwie helfen ;)

grüße,

thilo
Beantwortet 8 Mär 2012 von Thilo87 Experte IV
Danke! Leider darf ich noch keinen Taschenrechner benuzen. Ich hab auch nicht so viel verstanden ich glaub soweit bin ich noch nicht. Aber danke.
+1 Punkt
Als Ergänzung zur guten Antwort von Thilo87:



Lektion hier: https://www.matheretter.de/grundlagen/logarithmus
Beantwortet 8 Mär 2012 von Matheretter Experte V
+1 Punkt
Die Formeln, die die anderen beiden vorgestellt haben, funktionieren aber leider nur, wenn die Basis bekannt ist.

Wenn du einfach nur eine unbekannte Zahl hast und sie als Potenz schreiben sollst, dann ist das im Allgemeinen eine schwere Aufgabe.

Wenn du so eine Aufgabe bekommst, kannst du aber eigentlich davon ausgehen, dass deine Lehrer nicht allzu gemein sind und sowohl Basis als auch Exponent eine ganze Zahl sind.

Dann musst du gezielt raten und zwar folgendermaßen:
Du kennst ja die Größe der Zahl, also kennst du in etwa die Größenordnung von Exponent und Basis. Einerseits wäre es möglich, dass es sich um eine zweistellige Basis und den Exponenten 2 handelt, oder eine einstellige Basis und der Exponent drei; natürlich ist auch einstellige Basis mit höherem Exponenten möglich, aber behandeln wir erstmal diese Sonderfälle.

Wenn du jetzt die Zahl betrachtest, siehst du, dass ihre letzte Ziffer eine 3 ist. Das heißt aber, dass sie nicht die 2. Potenz einer zweistelligen Zahl sein kann, denn du kannst jede zweistellige Zahl so schreiben:
z = 10*k+l, k ist die Zehnerstelle und l die Einerstelle, nehmen also beide Werte von 0 bis 9 an.

=> z^2 = 100*k+20*k*l+l²

Offensichtlich ist das einzige, was in die Einerstelle des Ergebnisses eingeht das l²; aber es gibt von 0-9 keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert auf 3 endet.

 

Wir wissen also auf jeden Fall schonmal, dass die Basis einstellig ist.

Offenbar kann der Exponent dann nicht 2 sein, denn das maximale Ergebnis wäre 9^2=81 und das ist zu klein.

Hier kann man wieder eine Analyse über die letzte Ziffer des Ergebnisses machen.

Bildet man Potenzen von 2, so ist die letzte Ziffer immer eine gerade Zahl, ebenso bei 4, 6 und 8.

Bildet man Potenzen von 3, so wechseln sich folgende Endziffern ab: 3, 9, 7, 1, 3. Man berechnet also testweise 3^5=243. Das hat zwar eine drei am Ende, ist aber kleiner als 343, 3^6 ist schon größer als 343.

Bleiben die Potenzen von 5, 7 und 9. Bei der 5 ändert sich die hinterste Stelle nie, es bleibt immer eine 5.

Bei der 9 wechseln sich immer 9 und 1 ab, da wird also auch nie eine drei draus.

Bei der 7 wechseln sich folgene Ziffern ab: 7, 9, 3, 1, 7, das heißt 7^3 endet mit einer 3. Rechnen wir das schnell aus: 7*7=49; 7^3=7*7*7=49*7=343, also ist die gesuchte Potenz 7^3.

 

Das klingt jetzt sehr lang und man könnte meinen, Raten ginge schneller - aber wenn du die ganzen Endziffern einmal verinnerlicht hast, dann dauert das nur ein paar Sekunden.

(Außerdem bleibt die Argumentation ja für zweistellige Zahlen erhalten - auch die Potenzen von 15 haben immer 5en am Ende und auch die Potenzen von 27 haben jeweils die Endziffern 7, 9, 3, 1 und 7.)
Beantwortet 8 Mär 2012 von Julian Mi Experte X
Das finde ich toll. Das hab ich verstanden. Danke. Max

In der 5. Klasse muss man Kubikzahlen bis zur 10. Basis auswendig lernen. Also 1hoch drei, 2 hoch3, 3 hoch3 usw. Wenn Du das machst wirst Du die Ergebnisse zu diesen Fragen finden. Das Ausrechnen kommt erst später, das könnt Ihr noch nicht in der5.:) 

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