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Bei der folgenden Aufgabe habe ich zwar schon die Lösungen aber ich frage mich trotzdem wie man darauf kommt!? Kann mir jemand plausible Rechenwege zeigen? (Lösung der Aufgabe siehe unten)


Aufgaben:

6.1 Gegeben ist die zweite Ableitung der Funktion \( f \) durch die Gleichung

\( \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \mathrm{x}-2 \quad \text { und } \quad \mathrm{D}_{\mathrm{f}}=\mathrm{R} \)

Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Funktion \( f \) so, dass die Gerade \( \mathrm{t} \) mit \( \mathrm{t}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}+\frac{16}{3} \) Wendetangente des Graphen von \( \mathrm{fist} \).

6.2.0 Betrachtet wird im Folgenden die reelle Funktion f mit der Gleichung

\( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{10} \mathrm{x}^{3}+\frac{1}{5} \mathrm{x}^{2}-\frac{3}{2} \mathrm{x} \quad \text { und } \quad \mathrm{D}_{f}=\mathrm{R} \)

Der Graph der Funktion f heißt \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \).

6.2.1 Skizzieren Sie den Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) in ein geeignetes Koordinatensystem.

6.2.2 Weisen Sie nach, dass jede Stammfunktion \( F_{\mathrm{c}} \) der Funktion f bei \( \mathrm{x}=0 \) eine Extremstelle besitzt.

6.2.3 Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) und die Abszissenachse im Intervall \( [-1 ; 2] \) begrenzen.

6.3.0 Gegeben ist eine weitere reelle Funktion \( \mathrm{p} \) durch ihre Gleichung

\( \mathrm{p}(\mathrm{x})=\frac{1}{10} \mathrm{x}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{x} \quad \text { und } \quad \mathrm{D}_{\mathrm{p}}=\mathbf{R} \)

Der Graph der Funktion p heißt \( \mathrm{G}_{\mathrm{p}} \).

6.3.1 Skizzieren Sie den Graphen \( \mathrm{G}_{p} \) in das vorhandene Koordinatensystem.

6.3.2 Eine Gerade \( x=u \) mit \( u \in R \) teilt die vom Graphen \( G_{p} \) und der Abszissenachse im dritten Quadranten vollständig begrenzte Fläche. Ermitteln Sie zwei mögliche Werte für u so, dass eine dieser Teilflächen den Inhalt von \( 1,5 ~ \mathrm{FE} \) besitzt.

6.3.3 Die Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) und \( \mathrm{G}_{\mathrm{p}} \) schließen im ersten und vierten Quadranten eine Fläche vollständig ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.


Lösungen:

6.1 Funktionsgleichung:

\( \begin{array}{lll} \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \mathrm{x}-2 & \Rightarrow \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=0 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{x}=4 \\ \mathrm{t}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}+\frac{16}{3} & \Rightarrow \mathrm{t}(4)=\frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{w}\left(4 ; \frac{4}{3}\right) \\ \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\frac{1}{4} \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+\mathrm{c} & \\ \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{12} \mathrm{x}^{3}-\mathrm{x}^{2}+\mathrm{c} \mathrm{x}+\mathrm{d} \\ \mathrm{f}^{\prime}(4)=-1 \\ \mathrm{f}(4)=\frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad-4+\mathrm{c}=-1 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{c}=3 \\ & \Rightarrow \quad \frac{4}{3}+\mathrm{d}=\frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{d}=0 \\ & \Rightarrow \quad \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{12} \mathrm{x}^{3}-\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x} \end{array} \)

 6.2.1 Skizze:

blob.png

6.2.2 Nachweis der Extremstelle:

\( f(x)=\frac{1}{10} x^{3}+\frac{1}{5} x^{2}-\frac{3}{2} x \Rightarrow \quad F_{c}^{\prime}(0)=f(0)=0 \\ f^{\prime}(x)=\frac{3}{10} x^{2}+\frac{2}{5} x-\frac{3}{2} \Rightarrow \quad F_{c}^{\prime \prime}(0)=f^{\prime}(0)=-\frac{3}{2} \neq 0 \)

→ Jede Stammfunktion \( F_{c} \) besitzt eine Extremstelle bei \( x=0 \).

6.2.3 Flächeninhalt:

\( \begin{array}{l} {[\mathrm{A}]_{-1}^{2}=\left[\mathrm{A}_{1}\right]_{-1}^{0}+\left[\mathrm{A}_{2}\right]_{0}^{2}} \\ \begin{array}{l} \mathrm{A}=\int \limits_{-1}^{0} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}+\left|\int \limits_{0}^{2} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\right| \quad \Rightarrow \quad \mathrm{A}_{1}=\frac{19}{24} ~ \mathrm{FE} \\ \mathrm{A}_{2}=\frac{31}{15} ~ \mathrm{FE} \\ \mathrm{A}=\frac{343}{120} ~ \mathrm{FE} \approx 2,86 ~ \mathrm{FE} \end{array} \end{array} \)

6.3.1 Skizze siehe unter 6.2.1

6.3.2 Werte für \( u \) :

\( \mathrm{A}=\left|\int \limits_{-5}^{u} \mathrm{p}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\right|=1,5 ~ \mathrm{FE} \quad \Rightarrow \quad \int \limits_{-5}^{u}\left(\frac{1}{10} \mathrm{x}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{x}\right) \mathrm{dx}=-1,5 \)
\( \left[\frac{1}{30} \mathrm{x}^{3}+\frac{1}{4} \mathrm{x}^{2}\right]_{-5}^{u}=-1,5 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{30} \mathrm{u}^{3}+\frac{1}{4} \mathrm{u}^{2}-\frac{7}{12}=0 \)
\( \Rightarrow \quad u_{1} \approx-7,16 \quad \) entfällt
\( \mathrm{u}_{2} \approx-1,74 \)
\( \mathrm{u}_{3} \approx 1,40 \quad \) entfällt
\( \mathrm{u} \approx-1,74 \)

wegen des Symmetrieverhaltens des Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{p}} \) im Intervall \( [-5 ; 0] \) ergibt sich ein zweiter Wert für \( u \) wie folgt: \( -5-(-1,74)=-3,26 \)

\( u \approx-3,26 \)

ODER:

\( A=\left|\int \limits_{\mathrm{u}}^{0} \mathrm{p}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\right|=1,5 ~ \mathrm{FE} \quad \Rightarrow \quad \int \limits_{\mathrm{n}}^{0}\left(\frac{1}{10} \mathrm{x}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{x}\right) \mathrm{dx}=-1,5 \)
\( \left[\begin{array}{rl}\left.\frac{1}{30} \mathrm{x}^{3}+\frac{1}{4} \mathrm{x}^{2}\right]_{u}^{0}=-1,5 & \Rightarrow-\frac{1}{30} \mathrm{u}^{3}-\frac{1}{4} \mathrm{u}^{2}+\frac{3}{2}=0 \\ & \Rightarrow \quad \mathrm{u}_{1} \approx-6,40 \quad \text { entfällt } \\ & \mathrm{u}_{2} \approx-3,26 \\ & \mathrm{u}_{3} \approx 2,16 \quad \text { entfällt }\end{array}\right. \)

\( u \approx -3,26 \)

wegen des Symmetrieverhaltens des Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{p}} \) im Intervall \( [-5 ; 0] \) ergibt sich ein zweiter Wert für \( u \) wie folgt: \( -5-(-3,26)=-1,74 \)

\( u \approx-1,74 \)


6.3.3 Fläche:

Schnittstellen bzw. Grenzen:

\( a=0 \qquad b=4 \)

\( \begin{array}{l} A=\int \limits_{0}^{4}(p(x)-f(x)) d x \\ A=\frac{112}{15} \mathrm{FE} \approx 7,47 ~ \mathrm{FE} \end{array} \)

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Hallo Thomas,
versuchen wir es einmal schrittweise.
Für einen Wendepunkt gilt :
die 2.Ableitung ist 0. Also
f ´´ ( x ) = 1/2 * x  - 2
1/2 * x  - 2  =  0
x = 4
Der Wendepunkt von f ( die wir noch nicht kennen ) ist bei x = 4

Avatar von 122 k 🚀

Die Wendetangente berührt die Funktion bei x = 4.
Der Funktionswert für die Tangente ist
t ( x ) = -x + 16/3
t ( 4 ) = -4 + 16 /3 = 4 / 3.

Der Wendepunkt ist W ( 4  | 4 / 3 )

Zu den weiteren Aufgabenstellungen in 6.1.
Der Wendepunkt einer Funktion ist in der ersten Ableitung ein Extrempunkt.
f ´´ ( x ) = 1/2 * x  - 2
f ´ ( x ) = 1/2 * x^2 / 2 - 2 * x + c
f ´( x ) = 1/4 * x^2 - 2 * x + c
f ´( 4 ) = 1/4 * 4^2 - 2 * 4 + c

Die Steigung der Funktion ist im Punkt x = 4 dieselbe wie
die der Wendetangente. Diese hat die Steigung -1.

1/4 * 4^2 - 2 * 4 + c = -1
4 - 8 + c = -1
c = 3

f ´( x ) = 1/4 * x^2  -  2 * x  + 3

Ok und wenn ich dir richtig folgen kann ergibt sich dann noch:

4/3 = 1/12 * 4^3 -4^2 +3*4+c

4/3=16/3-16+12+c

4/3=4/3+c

c=0


aber ich glaub das c müsste dann bei mir d heißen...

Richtig. Damit wäre die Aufgabe 6.1 im Kasten.

Juhu! :)

ich denke mal die Aufgabe 6.2.3 ist nur noch etwas unklar der Rest ist zu verstehen, ich weiß ungefähr wie ich bei den anderen auf die Lösung komme.

Hättest Du noch Lust, mir Aufgabe 6.2.3 zu erklären?

1.Schritt : nachsehen ob im intervall [-1 ; 2 ]
Nullstellen das heißt Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse ( Abzisse )
vorhanden sind

f ( x ) = 1/10 * x^3 + 1/5 * x^2 - 3/2 * x
f ( x ) = x * ( 1/10 * x^2 + 1/5 * x - 3/2  )
x * ( 1/10 * x^2 + 1/5 * x - 3/2  ) = 0
x = 0
und
1/10 * x^2 + 1/5 * x - 3/2 = 0
x = -5
x = 3
Außer x = 0 ist kein Schnittpunkt im Intervall vorhanden.

Stammfunktion bilden
∫ f ( x ) dx
∫ 1/10 * x^3 + 1/5 * x^2 - 3/2 * x dx
1/10 * x^4 / 4 + 1/5 * x^3 / 3 - 3/2 * x^2 /2

Intervallgrenzen einsetzen
[ 1/10 * x^4 / 4 + 1/5 * x^3 / 3 - 3/2 * x^2 /2 ]-10
19 / 24

und

[ 1/10 * x^4 / 4 + 1/5 * x^3 / 3 - 3/2 * x^2 /2 ]02
-31/15 : Flächen sind immer positiv
31 / 15

A = 2.86

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