Lagrange-Multiplikator ausrechnen

Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)=60(ln)x1+60(ln)x2. Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1=1 und p2=1. Minimieren Sie die Kosten des Individuums, wenn ein Nutzenniveau von 530 erreicht werden soll.

Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator λ im Kostenminimum?

Answer 1

Text erkannt:

Wie hoch ist der Lagrange-Multiplikator \( \lambda \) im Kostenminimum?
\( U(x, y)=60 \cdot \ln (x)+60 \cdot \ln (y) \)
\( x+y=530 \)
\( U(x, y, \lambda)=60 \cdot \ln (x)+\lambda \cdot(x+y-530) \)
\( \frac{d U(x, y, \lambda)}{d x}=\frac{60}{x}+\lambda \)
\( \frac{d U(x, y, \lambda)}{d y}=\frac{60}{y}+\lambda \)
\( \frac{d U(x, y, \lambda)}{d \lambda}=x+y-530 \)
1. \( ) \frac{60}{x}+\lambda=0 \rightarrow \lambda=-\frac{60}{x} \)
2. \( ) \frac{60}{y}+\lambda=0 \rightarrow \lambda=-\frac{60}{y} \)
3. \( ) x+y=530 \)
\( -\frac{60}{x}=-\frac{60}{y} \)
\( x=y \)
\( x+x=530 \)
\( x=265 \)
\( y=265 \)
\( \lambda=-\frac{60}{265} \)
\( \lambda=-\frac{12}{53} \)
\( U_{\min }=60 \cdot \ln (265)+60 \cdot \ln (265) \approx 669.56 \)
mfG
Moliets