Vereinfachen Sie die Terme ohne Nutzung des Taschenrechners und bestimmen Sie Lösungen.

Question

Aufgabe 1:

Vereinfachen Sie die Terme ohne Nutzung des Taschenrechners und bestimmen Sie Lösungen.

Vereinfachen Sie: \( \left(\frac{2}{a b}-\frac{3}{b c}\right)\left(\frac{2 c}{a}+\frac{b}{c}\right) \)

Vereinfachen Sie: a) \( \frac{(-x)^{3 n}\left(-y^{5 m}\right)}{(-y)^{2 m}(-x)^{4 m+3}} \quad, n, m \in \mathbb{Z} \)

Vereinfachen Sie: \( \frac{b^{3}-a^{2} b}{a^{2} b-2 a b^{2}+b^{3}} \)

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie alle Lösungen von

a) \( \frac{x}{a}-\frac{a-x}{2 b c}+\frac{a-x}{3 c}=1 \quad, a, b, c, x \in \mathbb{R} \quad \) mit \( \quad a b c \neq ... \)

b) \( \frac{a^{2} x-b^{2}}{a}-\frac{a(b-a x)}{b}+\frac{b^{2}}{a}=a \quad, a, b \in \mathbb{R} \quad \) mit \( \quad a b \neq ... \)

Ansatz/Problem:

Es geht mir nur um 2a) da ich nicht verstehe inwiefern es sich auf den Term auswirkt, wenn die Potenz innerhalb oder außerhalb der Klammer steht.

Comments

Der Unterschied zwischen (a+b)^2 und a^2 + b^2 ist, dass im ersten Term a+b hoch 2 genommen wird (a+b)*(a+b) und bei dem zweiten Term a und b einzeln hoch 2 genommen werden (a^2 und dann + b^2).

Beispiel: (1+2)^2 = 3^2 = 9

            (1^2 + 2^2) = 1 + 4 = 5

Bei der ersten gelbmarkierten a) ist es einfach: Du kannst kürzen, weil sowohl im Zähler, als auch im Nenner ein (-x) bzw. (-y) enthalten ist. Doch! Es ist das Minus zu beachten.

Wie wir alle wissen: Minus*Minus = Plus. Und: Plus*Minus = Minus. Also Minus*Minus*Minus=Minus. Und allgemein: (-1)^n = 1 wenn n gerade ist und (-1)^n = -1 wenn n ungerade ist.

Im Zähler wird das y potenziert, nicht -y (sonst hätte es (-y)^{...} heissen müssen). Also kannst du das - auch vor den Bruch schreiben. Nun kannst du kürzen. Versuch es ähnlich bei x.

*Nur als Beispiel

Answer 1

(-x)^{3·n}·(- y^{5·m})/((-y)^{2·m}·(-x)^{4·m + 3})

Die 3·n bezieht sich komplett auf das -x.

Die 5·m beziehen sich nur direkt auf das y und nicht auf das minus.

= -1·(-x)^{3·n}·(y^{5·m})/((-y)^{2·m}·(-x)^{4·m + 3})

= -1·(-x)^{3·n}·(y^{5·m})/(y^{2·m}·(-x)^{4·m + 3})

= -1·(-x)^{3·n - 4·m - 3}·y^{3·m}