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Aufgabe:

Wir definieren eine Abbildung \( d: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) durch

\( d\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right):=\left\{\begin{array}{ll} \left|y_{1}-y_{2}\right|, & \text { falls } x_{1}=x_{2} \\ \left|y_{1}\right|+\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{2}\right|, & \text { falls } x_{1} \neq x_{2} \end{array}\right. \)

(1) Der Balkon von Romeo befindet sich im Punkt \( R \) mit Koordinaten \( (1,3) \) und der Balkon von Julia im Punkt \( J \) mit Koordinaten \( (4,7) \). Berechnen Sie die Entfernung zwischen \( R \) und \( J \) bezüglich der Metriken, die von Normen \( \|\cdot\|_{1},\|\cdot\|_{2} \) und \( \|\cdot\|_{\infty} \) induziert \( { }^{1} \) sind.

(2) Beweisen Sie, dass \( d \) eine Metrik \( ^{2} \) auf \( \mathbb{R}^{2} \) ist. Berechnen Sie \( d(R, J) \).

(3) Skizzieren Sie die Kugel \( B_{1}((2,2)), B_{2}((2,2)), B_{3}((2,2)) \) und \( B_{4}((2,2)) \) in dem metrischen Raum \( \left(\mathbb{R}^{2}, d\right) \)

(4) Für die Menge \( M:=\{(t, 2) \mid 0<t<2\} \) geben Sie die folgenden Mengen an (alles bezüglich \( d \) ):

(a) Die Menge \( \operatorname{Ber}(M) \) der Berührpunkte von \( M \).

(b) Die Menge \( \mathbf{H P}(M) \) der Häufungspunkte von \( M \).

(c) Die Menge \( M^{\circ} \) der inneren Punkte von \( M \).

(d) Den Rand \( \partial M \).

(5) Berechnen Sie den Durchmesser (diameter) von \( M \) nach der Formel

\( \operatorname{diam}(M):=\sup _{a, b \in M} d(a, b) \)


Ansatz/Problem:

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen. Teil 1-3 ist kein Problem, aber ab Teil 4 wird es kritisch. Wie setze ich für die Menge der Berühr- bzw. Häufungspunkte an? Ansätze wären sehr hilfreich.

Avatar von

in keiner der beiden Links wurde der Frage nicht wirklich Beachtung geschenkt ..

Dann ist sie vielleicht zu schwierig.

Diese Frage hier erscheint ja immer noch als offen.

(4) ist noch offen.

Ich schmeiße mal meine Frage hier mit hinein, da sie auch zu gegebener Metrik ist.

Meine Frage:

Ist nicht (2-(1/n) , 2) für n∈ℕ und n≥1 eine Folge in M, die gegen (2,2)∉M konvergiert?

Dann wäre (2,2) ja ein Berührungspunkt von M und M damit nicht abgeschlossen...

Allerdings ist in Teilaufgabe 6 zu zeigen, dass M abgeschlossen bezüglich d ist.

Kann mir jemand bitte meinen Fehler erklären?

Nur mal eine Vermutung (Definitionen von HP .. habe ich nicht ganz präsent.

d( (2-(1/n) , 2) , (2,2))

= 2 + 1/n + 2 → 4 und nicht 0.

Daher ist (2,2) kein HP der vorliegenden Menge. 

eieiei, Schande über mein Haupt :D

mag vielleicht jemand kurz erklären, wie man Berührpunkte und Häufungspunkte ausrechnet? Ich steh nämlich auch ziemlich auf dem Schlauch.

also: setzt man für die Menge der Berührpunkte nacheinander in d ein?

Denke d(0,2)=d((0,0),(2,2) = 4∉M also kein berührpunkt?

Demnach nur (2,2) ein Berührpunkt bezüglich d auf M?

Ein anderes Problem?

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