Zeige, dass jeder Eigenwert entweder 0 oder 1 ist. Bestimme für beliebige α die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix.

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine Matrix mit der Eigenschaft, dass \( A^{2}=A \). Zeige, dass jeder Eigenwert entweder 0 oder 1 ist.

Sei \( A \in \mathbb{C}^{n \times n} \) mit Eigenwerten \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \) und Eigenräumen \( E_{\lambda_{1}}(A), \ldots, E_{\lambda_{n}}(A) . \) Bestimme für beliebige \( \alpha \in \mathbb{C} \) die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix \( A-\alpha \operatorname{Id}_{n} \).

Ansatz/Problem:

Kann ich das in der ersten Teilaufgabe einfach für \( \left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \) und \( \left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \) zeigen, oder gibt es einen allgemeinen weg? Und wie geht das in der zweiten Teilaufgabe mit komplexen Eigenwerten?

Answer 1

Hi,

natürlich nicht, es geht um einen allgemeinen Beweis.

Hinweis zu 1): Betrachte die Lösungen der Gleichung \( \lambda^2 = \lambda \).

Hinweis zu 2): Wenn \( x \in E_{\lambda_i}(A\)) für \( i \in \{1,...,n\} \) was ist dann \( (A-\alpha Id_n) x = ? \).

Gruß

Comments

Die Lösungen dieser Gleichung wären ja 0 und 1. Das habe ich auch verstanden, dass das in den gesuchten Matrizen vorkommen muss damit A² = A sein kann. Aber wie kann ich das nun allgemein aufschreiben, dass es sichtbar wird dass, es nicht nur für die von mir erwähnten Beispiele gilt?

zu b) Verstehe ich trotz Hinweis nicht wirklich :(

Es müsste ja jeder neue Eigenwert derjenige des entsprechenden Eintrages der alten Matrix A minus den Eintrag von α*Id_n sein, oder gibt das in diesem Beispiel etwas spezielles? (Ich verstehe nicht ganz was das mit dem Id_n sein soll in dieser Aufgabe, ist das einfach die Einheitsmatrix?)

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zu a) wenn \(\lambda\) ein Eigenwert von \(A\) ist  und \(v\) ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert dann gilt

$$ Av = \lambda v = \lambda^2v = A^2v $$

Daher die Gleichung....

und zu 2) Ja damit ist die Einheitsmatrix gemeint und ja es kommt das heraus was du da aufgeschrieben hast wenn man einfach wie in 1) eine entsprechende Gleichung formuliert.