Stetige Grenzfunktionen, Normen || x ||∞ = sup |x(t)| (für 0 ≤ t≤ 1) bzw. ||x||1 = ∫_(0)^1 |x(t)| dt.

Question

Sei X der Raum der auf [0,1] stetigen Funktionen x : [0,1] → ℝ, versehen mit den Normen

|| x ||_∞ = sup |x(t)| (für 0 ≤ t≤ 1) bzw. ||x||₁ = ∫₀¹ |x(t)| dt.

Sei jetzt \( \left(x_{n}\right) \subset X \) die Folge der stetigen Funktionen

\( x_{n}(t)=\frac{1}{1+n t^{2}}, \quad t \in[0,1], n \in \mathbb{N} \)

Gibt es eine stetige Grenzfunktion \( x \) mit \( x_{n} \rightarrow x \) in \( \left(X,\|\cdot\|_{\infty}\right) \) oder in \( \left(X,\|\cdot\|_{1}\right) \)?

Zeigen Sie an einem Beispiel, dass der Raum \( \left(X,\|\cdot\|_{1}\right) \) (Bezeichnung: \( \left.C_{L_{1}}([0,1])\right) \) nicht vollständig ist.

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%281+%2B+100t%5E2%29%2C+1%2F%281%2B1000t%5E2%29+

 

Die Grenzfunktion ist

x(t) = 0 für t≠0 und x(t) = 1 für t=0.

Für die beiden Normen der Grenzfunktion gilt: 

|| x ||_∞ = sup |x(t)| (für 0 ≤ t≤ 1)  = 1, da x(0) immer 1.

bzw. ||x||₁ = ∫₀¹ |x(t)| dt = 0. Ein Punkt mit einer y-Koordinate ≠0 macht noch keine Fläche, die ein Riemannsches Integral sieht. 

x(t) = 0 ist eine stetige Grenzfunktion, die sich bezüglich ||.||1 nicht von der Effektiven Grenzfunktion unterscheidet. 

Das "Unvollständigkeitsbeispiel" überlasse ich jemand anderem. Vielleicht fällt dir ja selbst etwas ein? 

Comments

\(\|\cdot\|_1\) ist hier nur für stetige Funktionen auf \([0,1]\) definiert; d.h. für die Funktion \(x(t)=\begin{cases}1,t=0\\0, 0<t\leq 1\end{cases}\) kann man die Norm gar nicht berechnen (was du aber trotzdem getan hast).

Diese Norm kann gar keine Norm auf dem Raum aller Funktionen auf \([0,1]\) sein, da laut Definition \(\|x\|_1=0\) nur für \(x=0\) möglich ist. Die (unstetige) Grenzfunktion oben ist aber ein Gegenbeispiel dazu.

Die Grenzfunktion bezüglich \(\|\cdot\|_1\) ist also (wie du geschrieben hast) die Nullfunktion.

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Dankeschön, also ist die Grenzfunktion bezüglicgh ||.||1 die Nullfunktion und bezüglich ||.|| ∞ ?

Und für den Unvollständigkeitsbeweis müsst ich ja zeigen, dass nicht jede Cauchy-Folge in dem angebenen Raum einen Grenzwert besitzt. Habt ihr dafrü vielleicht einen Tipp wie ich das zeigen kann?

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bezüglich ||.|| ∞  gibt es keine stetige Grenzfunktion. Da das x=0 sein müsste. Aber x=0 von jedem xn den Abstand 1 hat.