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A(n): ∑ 1/3^j = 1/18 - 1/2*(1/3)^n

Summe j=3 bis n.


a) \( \sum \limits_{i=3}^{n} \frac{1}{3^{j}}=\frac{1}{18}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \)

Behauptung: \( A(n) \in N \geq 3 \)

lnduktionsanfang: \( A(3) \) ist wahr

\( \begin{array}{l} \sum \limits_{j=3}^{3} \frac{1}{3^{j}}=\frac{1}{18}-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \\ \sum \limits_{j=3}^{3} \frac{1}{3^{5}} \approx 0,0370 \end{array} \)

Induktionsschritt: \( A(k) \rightarrow A(k+1) \)

Induktionsvoraussetzung: \( \sum \limits_{j=3}^{k} \frac{1}{3^{5}}=\frac{1}{18}-\left(\frac{1}{2}\right) \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{k} \)

Induktionsbehauptung: \( \sum \limits_{j=3}^{k+1} \frac{1}{3^{j}}=\frac{1}{18}-\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{3}\right)^{k+1} \)

Beweis:

\( \sum \limits_{j=3}^{k-1} \frac{1}{3^{j}}=\sum \limits_{j=3}^{k} \frac{1}{3^{j}}+\frac{1}{3^{(k+1)}} \)

\( =\frac{1}{18} - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{k} + \frac{1}{3^{k+1}} \)


Ansatz/Problem:

Wie komme ich nun von der Zeile beim Beweis zurück zur Induktionsbehauptung?

Avatar von

Bist du sicher, dass du Induktion nehmen willst?

Das ist ja einfach eine geometrische Reihe.

1 Antwort

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Beste Antwort

Du sollst bis n+1 summieren (nicht bis k+1)

1/18  - 1/2 * (1/3)^n + 1/3^{n+1}

= 1/18 - 1/2 * 3* (1/3)^{n+1}  + 1* (1/3)^{n+1}

= 1/18 + ( -3/2 + 1) * (1/3)^{n+1}

= 1/18 + (-1/2) *(1/3)^{n+1}

= 1/18 - 1/2 * (1/3)^{n+1}


Induktionsanfang ohne Rundungen:

1/3^3 = 1/27

= ? =

1/18 - 1/2 * 1/3^3 = 3/54 - 1/54 = 2/54 = 1/27

stimmt.

Avatar von 7,6 k

Okay, ich verstehe nur nicht ganz, woher die 3 und die 1 in der zweiten Zeile (jeweils vor den Brüchen) kommen.

Das ist Bruch- und Potenzrechnen:

(1/3)^{n+1}= 1/3^{n+1}

1/3^{n+1} = 1/3 * 1/3^n        | * 3

3 * 1/3^{n+1} = 1/3^n

3* (1/3)^{n+1} = (1/3)^n 

Nun in der betreffenden Zeile (1/3)^n durch 3*(1/3)^{n+1} ersetzen.

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