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Aufgabe:

Der Grenzwert soll bei diesen Zahlenfolgen bestimmt werden.

\( \left(a_{n}\right)=\frac{\sqrt{6 n^{2}+5 n+4}}{\sqrt{3 n^{2}-5 n-4}} \cdot \frac{\sqrt{27} \cdot n^{2}}{3 n^{2}-2 n+1} \)

\( \left(b_{n}\right)=\frac{\left(2 \cdot 3^{n}+3\right)^{3}}{27^{n}} \)


Ansatz/Problem:

Bei (a) soll 3, bei (b) soll 8 herauskommen. Wie kommt man darauf?

Bei (a) geht der erste Faktor doch gegen 3, folglich muss der zweite Faktor ja gegen 1 gehen, aber mir erschließt sich einfach nicht warum.

Bei (b) hab ich überhaupt gar keine Ahnung, wie man da rangeht. Muss man da nicht irgendwas mit dem Logarithmus machen?

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Um das abzuschätzen brauchst du hier (zufälligerweise!) nur die höchsten Potenzen respektive deren Koeffizienten anzusehen.

(an) -----> (√6 / √3 ) * (√27 / 3) = √2 * (√27/√9) = √2 *√3 = √6

(bn) -----> (2 * 3^n)^3 / 27^n = 2^3*3^{3n} * 3^{-3n} = 2^3 = 8.

Eine vollständige Rechnung findest du in der Antwort von Mathecoach.

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lim (n → ∞) √(6·n^2 + 5·n + 4)/√(3·n^2 - 5·n - 4) · (√27·n^2)/(3·n^2 - 2·n + 1)

lim (n → ∞) √(6 + 5/n + 4/n^2)/√(3 - 5/n - 4/n^2) · √27/(3 - 2/n + 1/n^2) = √6/√3 · √27/3 = √6


lim (n → ∞) (2·3^n + 3)^3 / 27^n

lim (n → ∞) (2·3^n + 3)^3 / (3^n)^3

lim (n → ∞) ((2·3^n + 3) / 3^n)^3

lim (n → ∞) (2 + 3/3^n)^3 = 8

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Wie kommst du denn von 27^n auf  (3^n)^3?

27^n = (3^3)^n = 3^{3*n} = 3^{n*3} = (3^n)^3

Oder anders

(3^n)^3 = 3^n * 3^n * 3^n = (3*3*3)^n = 27^n

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