Grenzwert von der Reihe bestimmen: Σ_{n=0}^{∞} (4n^{2} - 2n) / (2^n)

Question

Grenzwert von der Reihe bestimmen:

 $$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { 4 }{ n }^{ 2 }-2n }{ { 2 }^{ n } }  }  $$

Answer 1

Das sind 2 Summen vom Typ §18b) aus

http://www.gerdlamprecht.de/nichttrivialeGrenzwerte_Limes.html  

Klick auf den LINK von LerchPhi ergibt

Faktoren kommen vor die Summe, also

4*LerchPhi(1/2,-2,0)-2*LerchPhi(1/2,-1,0)=20  

Answer 2

$$\text{Bekanntlich gilt }\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n\text{ für }\vert x\vert<1.$$Ableiten liefert$$\frac1{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n.$$Nochmaliges Ableiten liefert$$\frac2{(1-x)^3}=\sum_{n=1}^\infty n(n+1)x^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty(n+1)(n+2)x^n.$$Es folgt$$4\cdot\frac2{(1-x)^3}-14\cdot\frac1{(1-x)^2}+6\cdot\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty(4n^2-2n)x^n.$$Setze nun \(x=\frac12\).

Comments

"Es folgt"

... kann ja sein, dass "Es" noch folgen kann ... ich (und da bin ich wohl nicht ganz allein) folgt da nicht mehr.

Könntest Du zeigen, mit welchen nachvollziehbaren Zwischenschritten die letzte Zeile zu entwickeln ist ?