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Aufgabe:

Sei \(V\) ein endlichdimensionaler Vektorraum über \(\mathbb{K}\), seien weiterhin \(\Phi\) und \(\varphi\) zwei (Basis-)Isomorphismen (bezüglich beliebiger Basen von \(V\)).

Das Folgende soll ein kommutatives Diagramm sein:

Bild Mathematik

Es ist jetzt zu beweisen, dass es ein \(\lambda\in\mathbb{K}\) gibt, sodass \(f = \lambda\cdot Id_V\).

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Die Frage scheint entweder schlecht gestellt worden zu sein, zu schwer zu sein oder irgendwie aus anderen Gründen umgangen zu werden...?

Danke, ich hab was, das trifft sehr genau das was ich brauche:
https://www.mathelounge.de/227946/endomorphismus-beweis-von-phi-circ-circ-phi-forall-phi-mathbb
Leider ist auch diese Frage offen...

Ich habe auch schon diese hier gestellt:
https://www.mathelounge.de/236236/was-sind-die-mindestanforderung-an-zwei-matrizen-sodass-ba
Die könnte helfen, ist aber offen :D
Danke jedenfalls!

1 Antwort

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man beachte:

https://www.mathelounge.de/236935/darstellungsmatrix-lambda-id_v-beweis-jeder-basis-gleich#c236956

Sei \(M\) die Darstellungsmatrix eines Basiswechsel zweier beliebiger Basen von \(V\). Da \(f\) zu jeder Basis dieselbe Darstellungsmatrix \(A\) muss gelten:

$$ AM = MA $$

Da die zwei Basen mit Dimension \(n\) beliebig sind, ist \(M\) eine beliebige, invertierbare \(n \times n \)-Matrix. Die einzigen Matrizen die kommutativ zu allen (invertierbaren) Matrizen sind, sind die vielfachen der Einheitsmatrix.

Gruß

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Danke, das ist ein Wort! :)


Ich muss (leider) zugeben, dass ich so weit schon auf den verschiedensten Wegen gekommen war... :

Da das Diagramm kommutativ ist, gilt:
\(f = \Phi^{-1}\circ A\circ \Phi\).
Nun gilt aber auch
\(f = \varphi^{-1}\circ A\circ \varphi\) , also

\(\Phi^{-1}\circ A\circ \Phi ~~=~~ \varphi^{-1}\circ A\circ \varphi\) ,damit
\(\varphi\circ\Phi^{-1}\circ A\circ\Phi\circ\varphi^{-1} ~~=~~ A\)

usw...


...und dass mir gerade der letzte Teil im Beweis fehlt, der bei Dir etwas kurz kam...

Danke nochmal auf jeden Fall!

Ok gut war mir natürlich nicht klar, dass du selber schon so weit warst ;). Ist dir denn der letzte Schritt klar?

Dann wäre ja \(\varphi\circ\Phi^{-1}\) der Basiswechsel \(M\), also gilt \(M\circ A\circ M^{-1} ~=~ A\), also \(A\circ M ~=~ M\circ A\)...

Was mir noch fehlen würde ist der Teil, der zeigt, dass die Matrix \(A = \lambda\cdot E\) ist, wenn \(M\) nxn und invertierbar und beliebig...

Dankeschön nochmal bis hierher... :))

Du musst dir einfach nur folgende Beispiele für \(M\) anschauen:

Sei \(E_{ij}\) die Matrix für die der Eintrag \(a_{ij} = 1 \) und sonst alle Einträge \(0\) sind.

Jetzt setze: \(M = E+E_ {ij} \)

Dann muss gelten: \(A E_{ij} = E_{ij} A \)

Was bedeutet das für die Einträge von \(A\)? Nicht vergessen, \(i,j \in \{1,...,n\} \) beliebig.

eine Frage: Ist es nicht eigentlich


\(f = φ ° A^{-1} ° φ^{-1} \)


sein? Denn bei Verknüpfungen fängt man doch von rechts an, oder nicht?

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