Nach welcher Zeit sind beide Populationen gleich stark? (Logistisches Wachstum)

Question

Aufgabe:

Zwei Staaten A und B wollen ihre Bevölkerungszahl durch Steuerungsmaßnahmen im Rahmen logistischer Wachstumsmodelle gezielt erhöhen. Staat A geht von der Wachstumsfunktion \( N_{A}(t)=\frac{1200}{20+40 \cdot e^{-0,048 t}} \) aus, Staat B von der Funktion \( N_{B}(t)=\frac{600}{10+50 \cdot e^{-0,084 t}} \) (in Mio.).

a) Skizzieren Sie die Graphen von \( \mathrm{N}_{\mathrm{A}} \) und \( \mathrm{N}_{\mathrm{B}} \) für \( 0<\mathrm{t} \leq 100 \).

b) Welche Anfangsbestände und welche Grenzbestände liegen vor?

c) Nach welcher Zeit sind die beiden Populationen gleich stark?

Ansatz/Problem:

Es geht um die Aufgabe c ) muss ich den beide Fkt gleichsetzen oder erst nach t auflösen und dann gleichsetzen.

Answer 1

Beide Funktionen gleichsetzen.

1200/(20 + 40·EXP(- 0.048·t)) = 600/(10 + 50·EXP(- 0.084·t))

Kontroll-Lösung: t = 25.45

1200/(20 + 40·EXP(- 0.048·t)) = 600/(10 + 50·EXP(- 0.084·t))

2/(20 + 40·EXP(- 0.048·t)) = 1/(10 + 50·EXP(- 0.084·t))

2(10 + 50·EXP(- 0.084·t)) = 1(20 + 40·EXP(- 0.048·t))

20 + 100·EXP(- 0.084·t) = 20 + 40·EXP(- 0.048·t)

100·EXP(- 0.084·t) = 40·EXP(- 0.048·t)

EXP(- 0.084·t)/EXP(- 0.048·t) = 40/100

EXP(- 0.084·t - (- 0.048·t)) = 40/100

EXP(- 0.036·t) = 40/100

- 0.036·t = LN(40/100)

t = LN(40/100) / (- 0.036)

Answer 2

Hier mein Rechenweg

Schritt 1. die Ausgangsformel auf der linken Seite mit 2 erweitert  | * (2 / 2 )
Schritt 2 ausmultiplizert. Der Zähler 1200 ist nun gleich. Kehtwert bilden
1200 / Term1 = 1200 / Term2
Term1 / 1200 = Term2 / 1200
Term1 = Term2
Schritt 3 : 20 gestrichen
Schritt4 : e auf eine Seite ; Werte auf die andere Seite
Schritt 5 : e^{-a} / e^{-b} = e^{-a} * e^b = e^{-a+b}
Schritt 6 : ln ( )  auf beiden Seiten