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Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) und \( \mathbf{v} \) mit
\( \mathbf{a}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right], \quad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \quad c=\left[\begin{array}{r}2 \\ -3 \\ \mu\end{array}\right], \quad \mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ -2\end{array}\right] . \)

a) Für welche Werte von \( \mu \) sind die Vektoren \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) linear unabhängig?

b) Für den Fall der linearen Abhängigkeit stelle man \( \mathbf{c} \) als Linearkombination der Vektoren a und \( \mathbf{b} \) dar.

c) Für \( \mu=-2 \) stelle man den Vektor \( \mathbf{v} \) als Linearkombination der Vektoren \( \mathrm{a}, \mathrm{b} \) und \( \mathrm{c} \) dar. Ist die Darstellung eindeutig?

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Bei a) darf die Determinante der Matrix mit den Spaltenvektoren a,b,c nicht 0 sein.

Du kannst sie =0 setzen. mü bestimmen und dann den Wert (allenfalls die Werte) ausschliessen.

1 Antwort

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Bei b) löst du das lineare Gleichungssystem

ka + nb = c

nach k und n auf.

3 Zeilengleichungen (sogenannte Komponentengleichungen) draus machen.

Eigentlich kannst du aus den ersten beiden Zeilen wohl k und n schon bestimmen. Beides in der letzen Zeile einsetzen. Dann nach mü auflösen. So hast du a) gratis; resp. nochmals gelöst.

 

Bei c) löst du das lineare Gleichungssystem

ka + nb + mc = v

nach k,n und m  auf.

Wenn a,b,c linear unabhängig sind (weisst du aus a), ist die Lösung eindeutig.

Ich hoffe du kannst dich wieder erinnern und lineare Gleichungssysteme noch selbst auflösen.

Avatar von 162 k 🚀

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