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Aufgabe:

Gegeben seien die beiden Abbildungen \( L_{1}, L_{2} \) :

\( \begin{array}{l} L_{1}: \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \mapsto\left(\begin{array}{cc} c-2 d & 3 d \\ d+2 c & 3 a-b \end{array}\right) \\ L_{2}: \mathbb{R}_{\leq 5}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{5}+b x^{4}+c x^{3}+d x^{2}+e x+f \mapsto\left(\begin{array}{cc} c+d & 4 b-c \\ a & e+6 \end{array}\right) \end{array} \)

(a) Überprüfen Sie, ob die Abbildungen \( L_{1}, L_{2} \) linear sind.

(b) Bestimmen Sie \( \operatorname{Kern}\left(L_{1}\right) \) und seine Dimension.

(c) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}\left(\operatorname{Bild}\left(L_{1}\right)\right) \).

(d) Ist \( L_{1} \) injektiv/surjektiv/bijektiv?

Hinweis: Zur Lösung von (c) muss das Bild nicht bestimmt werden.


Ansatz/Problem:

Könnte mir jemand bei der b) behilflich sein, denn ich bin mir nicht sicher, ob die Lösung=1 oder =2 beträgt.

Ich hab den Kern(L)={ax4+3ax3(+e??)  | a,(e?) aus R } Mein Problem liegt bei dem Polynom, da ich ja noch das ...+e habe.

Lasse ich das im Kern einfach weg(wodurch die Lösung=1 wäre) oder gehört das noch dazu? Oder lieg ich ganz falsch?

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Wieso solltest du das \(e\) weglassen? Wie du schon richtig erkannt hast, wird \(ax^4+3ax^3\) für jedes \(a\in\mathbb{R}\) auf die Nullmatrix abgebildet. Da das Bild aber gar nicht von dem konstanten Glied \(e\) abhängt, wird auch jedes Polynom \(ax^4+3ax^3+e\) auf die Nullmatrix abgebildet (mit beliebigem \(a,e\in\mathbb{R}\)).
Der Kern von \(L_1\) ist also \(\{ax^4+3ax^3+e\ |\ a,e\in\mathbb{R}\}\).

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Wie bestimmt man hier die Dimension des Kerns ?

Bestimme doch mal eine Basis des Kerns, die Anzahl der Elemente der Basis ist dann die Dimension.

(Später, wenn man mehr Erfahrung hat, "sieht" man auch sofort die Dimension).

Super, das wäre dann z.B. B= (x^4+3x^3, 1)

Also ist dimKern(L)= 2.

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