Vielleicht könnt ihr mir ja zu dem Aufgabenkomplex ein paar Hilfestellungen geben.
Aufgabe 2 - Rang von Matrizen I:
Seien \( f, g \in \operatorname{Hom}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{3}\right) \) mit den Matrizen \( A \) und \( B \) (bezüglich der Standardbasis). Seien \( C \) und \( D \) die Matrizen, die durch das Nebeneinandersetzen bzw Übereinandersetzen von \( A \) und \( B \) entstehen.
a) Zeigen Sie, dass wenn das Bild Im \( f \) kein Unterraum des Bildes \( \operatorname{Im} g \) ist, die Ungleichung \( \operatorname{rg} B<\operatorname{rg} C \) gelten muss.
b) Finden Sie ein Beispiel dafür, dass \( \operatorname{Im} f \) kein Unterraum von \( \operatorname{Im} g \) ist, aber \( \operatorname{rg} B=\operatorname{rg} D \) gilt.
Aufgabe 3- Rang von Matrizen II:
Bestimmen Sei den Rang der folgenden Matrizen durch elementare Umformungen und Entwicklung einer oberen Dreiecksform. Versuchen Sie, den Rechenaufwand durch kleinere Abweichungen vom vorgegebenen Schema wie z.B. geschickte Verwendung von Typ 1 Umformungen zu reduzieren (beides geht dann ohne Bruchrechnung!).
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 3 & 2 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 5 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \\ -2 & 3 & 2 & -2 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{cccc} 3 & 2 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & -2 & -3 \\ -2 & 0 & 6 & 2 \end{array}\right) \)
Aufgabe 4 - Rang von Matrizen III:
Bestimmen Sie alle Werte von \( a, b \in \mathbb{R} \) für welche die Matrizen \( A \) und \( B \) den Rang 3 haben. Die Aufgabe soll mit Hilfsmitteln aus den laufenden Vorlesungen gelöst werden, d.h. Determinanten sind nicht zu verwenden.
\( A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 3 & a & -2 \\ -2 & 2 & 3 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & b \\ 2 & 1 & 1 \\ b & -1 & 0 \end{array}\right) \)
