Untersuchen Sie, für welche i die Funktion g_{i} an der Stelle (0,0) stetig ist

Question

Aufgabe 12:

Wir definieren Abbildungen \( f_{1}, \ldots, f_{4}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) durch

\( f_{1}(x, y):=x \)
\( f_{2}(x, y):=x^{2} \)
\( f_{3}(x, y):=x^{2} y \)
\( f_{4}(x, y):=x y\left(x^{2}-y^{2}\right) \)

und definieren \( g_{1}, \ldots, g_{4}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
\( g_{i}(x, y):=\left\{\begin{array}{cc}\frac{f_{i}(x, y)}{x^{2}+y^{2}} & \text { für }(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & \text { furr }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)

Untersuchen Sie, für welche \( i \) die Funktion \( g_{i} \) an der Stelle \( (0,0) \) stetig ist.

Aufgabe 13:

Sei \( V \) ein normierter Raum. Zeigen Sie: Die Abbildung \( f: V \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x):=\|x\| \) ist stetig.

Answer 1

12. Sei ξ≠0. Du guckst hier, ob g_i(ξ, ξ)=0, g_i(ξ, 0)=0 und g_i(0, ξ)=0 ist. Dann ist g_i stetig im Punkt (0, 0).

g₁(ξ, ξ)=ξ/(ξ^2+ξ^2)=ξ/(2ξ^2)=1/2ξ. Hier siehst du, dass für beliebig kleine ξ der ganze Ausdruck gegen ∞ geht, g₁ ist also nicht stetig im Punkt (0,0) (du kannst jetzt auch noch g₁(ξ, 0) und g₁(0, ξ) prüfen, da aber schon g₁(ξ, ξ)≠0, wird g₁ davon auch nicht stetig im Punkt (0, 0)).

g₂(ξ, ξ)=ξ^2/2ξ^2=1/2≠0. g₂ ist also nicht stetig im Punkt (0, 0).

g₃(ξ, ξ)=ξ^3/2ξ^2=ξ/2 -> 0 für ξ -> 0.

g₃(ξ, 0)=ξ^2/ξ^2=1/2≠0. g₃ ist also nicht stetig im Punkt (0, 0).

g₄(ξ, ξ)=(ξ^2(ξ^2-ξ^2))/2ξ^2=ξ^2*0/2ξ^2=0

g₄(ξ, 0)=ξ*0(ξ^2-0)/ξ^2=0

g₄(0, ξ)=0*ξ(0-ξ^2)/ξ^2=0

Da g₄(ξ, ξ)=0, g₄(ξ, 0)=0 und g₄(0, ξ)=0, ist g₄ im Punkt (0, 0) stetig.

Comments

Ist g₃ nicht auch stetig? Denn es gilt doch g₃(ξ, 0)=ξ²*0 /ξ²=0/ξ²=0 und g3(0, ξ)=0*ξ² /ξ²=0/ξ²=0 , oder vertue ich mich da?

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Ja...g₃ ist stetig!

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Ja, mein Fehler, g₃ ist auch stetig.

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Wie genau geht man an die 13 ran?

Mit dem ε-δ-Kriterium denk ich mal aber wie kann man das genau umstellen?!

Kommt am Ende δ=ε raus?

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Zur 13.:

Sei x₀∈V, sei ε>0 und wähle δ:=ε.

Für x∈V mit d(x₀, x) = ||x₀-x||<δ gilt d'(f(x₀), f(x)) = |f(x₀)-f(x)| = | ||x₀||-||x|| |

nur wie mach ich hier jetzt weiter (falls das überhaupt so geht)? Das einzige, was mir da einfällt, wäre die Dreiecksungleichung rückwärts, dann hätte ich aber ≥ und kann so nicht sagen, dass d'(f(x₀), f(x))<ε

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Man braucht dafür noch das hier:

||a|| = ||a-b+b|| ≤ ||a-b|| + ||b||     |-||b||

⇔ ||a||-||b|| ≤ ||a-b||

und ||b|| = ||b-a+a|| ≤ ||b-a|| + ||a||     |-||a||

⇔ ||b||-||a|| ≤ ||b-a||

⇒ | ||b||-||a|| | ≤ ||b-a||.

Wählen wir b=x₀ und a=x, dann ist | ||x₀||-||x|| | ≤ ||x₀-x||<δ=ε, also ist f stetig.