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Hallo Forum-Miglieder,


was ein ein Limes Superior  bzw. Limes inferior ist, weiß ich eigenlich schon ganz intiutiv: Es ist ja der größte bzw. kleiner Häufungswert einer Folge. Aber mit diesen Begriffen umzugehen fällt mir ziemlich schwer.


Die Definitionen sind ja , dass gelten muss:

$$a_n < limsup \quad a_n \quad + \quad \epsilon$$  bzw.

$$a_n > liminf \quad a_n \quad + \quad \epsilon $$ für fast alle n.


Nun soll ich folgende Aussage beweisen:


Bild Mathematik Irgendwie verstehe ich jedoch diesen Beweis nicht.... Kan mir da jemand mal helfen. Generell verstehe ich überhaupt gar nicht mal die Menge. Was ist denn mit s_k  gemeint. Ich bin irgendwie total verzweifelt....


LG

Orbi

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Es koennen ja beliebig viele Anfangsglieder machen, was sie wollen. Mit \((s_k)\) werden daher sukzessive immer mehr Anfangsglieder von \((a_n)\)ausgeschlossen. Damit kann man die obere Schranke immer tiefer legen und landet in der Grenze bei \(\lim\sup a_n\). Versuche, es Dir halt mal an einem Beispiel wie \(a_n=(-1)^n+1/n\) klarzumachen, wie das aussieht.

Bei "WIE FOLGT DAS?" wird benutzt: Wenn \(a_n\ge A\) für fast alle \(n\), dann gilt im Falle der Konvergenz \(\lim a_n\ge A\).

EDIT(Lu) Habe oben beim liminf einen Doppeldollar ergänzt und zudem zwei mal a_n eingeschoben, da limsup und limsup nicht ohne Argument stehen darf.

Kontrolliere, ob das so stimmt, du hast ja unten noch s_n.

1 Antwort

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Beste Antwort

Was ist denn mit s_k  gemeint.

s_k ist das supremum aller Folgenglieder, die einen Index n ≥ k haben; man könnte auch sagen,

alle die einen Index < k haben fallen weg.


Mit wachsendem k fallen also immer mehr weg, dadurch kann das Supremum nie größer werden,

sondern bleibt gleich oder wird kleiner: deshalb die Monotonie.

Avatar von 287 k 🚀

Vielen Dank mathef. Aber wieso gilt nun dies hier (was meine eigentliche Wissenslücke war....)


Bild Mathematik

Ich probier mal:

also wenn an > h* - eps und n > k ; dann ist ja

dieses an mit in der Menge, deren supremum sk ist,

und weil es für jedes eps so ein an gibt,  kann das supremum

dieser Menge nicht kleiner als h* sein, also sk ≥ h*.

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